אלגברה לינארית

ספר זה טרם הושלם ונמצא עדיין בכתיבה. ייתכן שחסרים בו פרקים, או אף נושאים שלמים. לפיכך, כרגע לא ניתן ללמוד ממנו על כל הנושא בצורה מקיפה. כמו בכל אחד מהספרים, מהדפים ומהנושאים בוויקיספר, גם כאן אתם מוזמנים להוסיף את הפרקים שלדעתכם חסרים. כל פעולה שעשויה לעזור תתקבל בברכה, כולל הערות ובקשות בדף השיחה של הספר. עדכון מצב הספר

הקדמה

האלגברה הלינארית עוסקת בהכללה של המרחבים הדו והתלת ממדיים, ובחקירת התכונות הכלליות שמאפיינות אותם. היא מהווה בסיס ללימודי המתמטיקה העל-תיכוניים, ופרט להיותה שימושית מאוד היא מהווה בנוסף מבוא לצורת החשיבה המאפיינת את האלגברה המופשטת.

אלגברה לינארית נלמדת במסגרת תואר ראשון במתמטיקה, מדעי המחשב, פיזיקה, מקצועות ההנדסה ועוד.

ספר זה מבוסס גם על השיעורים של ד"ר אלכסנדר גורביץ' ואיתמר צביק.

ידע קודם

חזרה על הידע הנדרש תתבצע בפרקי ההכנה. עם זאת, ההנחה היא כי הקוראים בקיאים באלגברה ברמה תיכונית - בפרט בפתרון מערכות של משוואות ממעלה ראשונה. היכרות עם המספרים המרוכבים נדרשת אף היא. כמו כן, רצויה ידיעה בסיסית בתורת הקבוצות.

תוכן עניינים

תוכן עניינים

מרוכבים מספרים מרוכבים מערכת משוואות מערכות של משוואות לינאריות חילוץ נעלמים ממשואה בעלת n נעלמים ישר הפתרונות ישרים במישור הצגות של ישר (פרמטרית, סתומה) הצגה פרמטרית לקבוצה מצב הדדי של ישירים במישור דרכים למציאת מישור (באמצעות 3 נקודות, מקודה וישר, שני ישרים נחתכים) מודלו מטריצות ($M_{m\times n}(\mathbb {F} )$) מטריצה סוגי מטריצות מטריצות דומות מציאת מטריצה דומה מטריצה מדורגת מציאת אוסף פתרונות למטריצה מדורגת דירוג מטריצה פעולות במרחב R^n פעולות במרחב $\mathbb {R} ^{n}$ חיבור מטריצות - ניתן לדלג כפל מטריצה בווקטור מכפלת מטריצות תכונות כפל מטריצות מטריצה אלמנטרית מטריצה הופכית כל מטריצה משולשת הפיכה סוגי פתרונות של מטריצות פתרונות של מערכת משוואות הומוגנית פתרונות של מערכת משוואות לא הומוגנית פעולות עמודה פעולות עמודה על מטריצה דירוג מטריצה על פי עמודות נוספים עקבה הרחבה למעוניינים דרגה של מטריצה $(r_{k}A)$ או $r(A)$ או ${\mbox{rank}}(A)$ - לדלג שחלוף מטריצה - לדלג מטריצת מעבר בין בסיסים - לדלג משפטים של מטריצות דומות - לדלג שדות ומרחב ווקטורי מבוא לשדות ($\mathbb {F} ^{2}$ שדה בו ישווקטור עם שני קורדינטות. $\mathbb {F} _{2}$ מודלו, בסיס 2 או במילים אחרות ציר עם שני מספרים בלבד אפס ואחד) מרחבים וקטוריים תת מרחב תתי מרחב תת מרחב וקטורי חיתוך של תתי מרחב - תת מרחב סכום של תתי מרחב איחוד של תתי מרחב - אינו תת מרחב המשלים של תתי מרחב$U\oplus W$ צירוף לינארי וקבוצה פורשת קבוצה פורשת (span) צירוף לינארי משפטי קבוצה פורשת מרחב העמודות, השורות והאפס - מצאתי לנכון להניח כאן הוצא מתוך פרק אחר בספר קבוצת הפתרונות הפורשים מטריצה הם קבוצת העמודות של המטריצה קבוצות תלויה ובלתי תלויה משפטי תלות לינארית צירוף לינארי לא טריוואלי תלות לינארית בסיס מציאת בסיס לסכום תתי מרחבים מציאת בסיס לחיתוך של תתי מרחבים משפטי תלות מימד משפט הממדים משפט ההחלפה של שטייניץ רשימות סדרה סופית (רשימה) בסיס סדור וקטור ביחס לבסיס $(\left[{\text{v}}\right]_{\text{B}})$ כל תת מרחב של שדה f^m ניתן להציג כקבוצת הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית ב-m נעלמים השלמת קבוצה בת"ל כך שתפרוש את המרחב טורים פורמליים ($\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]$) ופולינומים ($\mathbb {F} \left[x\right]$) טורים פורמליים ופולינומים העתקה לינארית העתקה מרחב הפונקציות ($\mathbb {F} ^{S}$), פונקציה של מטריצות ${\displaystyle M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)}$ ומרחב הפולינומים (${\displaystyle P(\mathbb {F} )}$) פונקציה, מרחב הפונקציות ותת מרחב של מרחב הפונקציות תלות לינארית של פונקציות הזזה אופקית (סדרת פונקציות) הצגת תת מרחב של מרחב הפונקציות בעזרת תנאי העתקות לינאריות העתקות לינאריות סוגי העתקות העתקה לינארית יחידה $(T_{A})$ גרעין ותמונה משפטים של גרעין ותמונה בסיסים של גרעין ותמונה משפטי העתקות משפט הממד על העתקות הרכבת העתקות העתקה חד ערכית ועל מעבר בסיסים קימת העתקה הפיכה ממרחב הפונקציה אל המרחב הוקטורי מטריצה מייצגת - מטריצת מעבר מבסיס B לבסיס C $\left[T\right]_{C}^{B}$ שימוש פרקטי במשפט 1 ($[T]_{C}^{B}\cdot [v]_{B}={\bigl [}T(v){\bigr ]}_{C}=A[v]_{B}$ הכנסת ווקטור $B$ אל ההעתקה "מייצר" ווקטורים בבסיס $C$): מציאת מטריצה מייצגת מציאת T(v) מציאת מטריצת העתקה מציאת ווקטור בבסיס מטריצת מעבר id העתקות והרכבות מטריצות מעבר בסיסים דומות להוסיף: אלגברה לינארית/מטריצה מייצגת העתקה המרחב של העתקות לינאריות (Hom) המרחב של העתקות לינאריות העתקה לינארית $\iota _{C}^{B}:\hom \left(V,W\right)\to M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ בסיס להעתקת יוטא פונקציונלים $(\lambda )$ פונקציונל המרחב הדואלי תרגילים בפונקציונלים מאפסים מאפסים משפט המימדים מאפסים בסיס למאפסים מטריצה משוחלפת שחלוף מטריצה ($A^{t}$ או $A^{T}$) העתקה דואלית ($T^{*}$ או $T^{t}$) העתקה דואלית דרגה של מטריצה משפטים של דרגת מטריצות דטרמיננטות פונקציה n ליניארית דטרמיננטה חישוב דטרמיננטה לפי נוסחת לפלס (מינורים) חישוב דטרמיננטה באמצעות דירוג סיכום משפטים חשובים בדטרמיננטה תמורה ערכים עצמיים מרחבי מכפלה פנימית תהליך גרהם-שמידט

קישורים חיצוניים

• הרצאות וידאו מאתר MIT OpenCourseWare. מתאים במיוחד לקורסים שבהם ספר הקורס הוא של Gilbert Strang.
• אמנון יקותיאלי, מבוא לאלגברה לינארית, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
• הרצאות מצולמות מהטכניון של פרופ' דוד צילג
• math wiki