אלגברה לינארית/מימד
ממד
[עריכה]יהי מ"ו נוצר סופי ו- בסיס של . הממד של יוגדר להיות: , כלומר מספר האיברים שב-.
דוגמה 1: מימד יהיה הבסיס אז |
דוגמה 2: מימד יהיה אז מאחר ש- בסיס נקבל כי |
משפטים
[עריכה]
טענה 1: בסיס למטריצה יהי מטריצה מדורגת מצומצמת בגודל עם איברים מובילים. הוא הצגה פרמטרית של קבוצת הפתרונות של אז |
טענה 2: אם מ"ו ו -, תת קבוצה של בת"ל בת איברים אז היא בסיס. נניח בשלילה כי אז קיים . לפי הטענה 1 של תלות לינארית, בת"ל, וזו סתירה כי ולכן היא תלויה ליניארית . |
טענה 3: מ"ו נוצר סופית, ו- תת מרחב של . תת קבוצה של בת"ל. אז קיימת תת קבוצה של שמכילה את כך ש היא בסיס של . הוא תת מרחב של . אם אז היא בסיס של . אם אז קיים אז נגדיר . לפי הטענה אז בת"ל, ואם אז סיימנו, כלומר היא בסיס של . אחרת, אם אז קיים ונגדיר . נסמן , אם ב- השלבים הראשונים של התהליך לא מצאנו בסיס של , אז נקבל היא קבוצה בת"ל בת לפחות איברים, וזה לא ייתכן. לכן האלגוריתם יעצור ב n שלבים הראשונים. |
טענה 4: V מ"ו נוצר סופית, תת-מרחב של V כך ש אז . נסמן n=\dim V ו m=\dim U. קיים . יהי בסיס של . אז . ולכן בת"ל. מכאן נובע כי . |
השלישי חינם
[עריכה]
טענה 2: אם מספר האיברים בקבוצה גדול ממספר האיברים בבסיס אז הקבוצה תלויה לינארית תהי , ו- כל 2 מהתנאים הבאים גוררים את השלישי:
|
: נסמן . נניח בשלילה שקיימים סקלרים כך ש- (אפשר לשנות את סדר האברים) אזי כל צ"ל הוא גם צ"ל , ולכן, גם פורשת. יהי בסיס ל- . לכן, , נקבל , אבל פורשת ו- בת"ל, בסתירה. לכן, בת"ל.
: נניח בשלילה ש- אינה פורשת. אזי קיים שאינו צ"ל של . לכן, בת"ל. יהי בסיס ל- . נקבל , אבל בת"ל ו- פורשת, בסתירה. לכן, פורשת.
: בסיס לפי ההגדרה, ולכן, . מש"ל