אלגברה לינארית/מימד

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

ממד[עריכה]

יהי מ"ו נוצר סופי ו- בסיס של . הממד של יוגדר להיות: , כלומר מספר האיברים שב-.



דוגמה 1: מימד

יהיה הבסיס אז



דוגמה 2: מימד

יהיה אז מאחר ש- בסיס נקבל כי


משפטים[עריכה]

טענה 1: בסיס למטריצה

יהי מטריצה מדורגת מצומצמת בגודל עם איברים מובילים.

הוא הצגה פרמטרית של קבוצת הפתרונות של

אז


טענה 2: אם מ"ו ו -, תת קבוצה של בת"ל בת איברים אז היא בסיס.

נניח בשלילה כי אז קיים . לפי הטענה 1 של תלות לינארית, בת"ל, וזו סתירה כי ולכן היא תלויה ליניארית .


טענה 3: מ"ו נוצר סופית, ו- תת מרחב של . תת קבוצה של בת"ל. אז קיימת תת קבוצה של שמכילה את כך ש היא בסיס של .

הוא תת מרחב של . אם אז היא בסיס של .

אם אז קיים אז נגדיר .

לפי הטענה אז בת"ל, ואם אז סיימנו, כלומר היא בסיס של .

אחרת, אם אז קיים ונגדיר .

נסמן , אם ב- השלבים הראשונים של התהליך לא מצאנו בסיס של , אז נקבל היא קבוצה בת"ל בת לפחות איברים, וזה לא ייתכן.

לכן האלגוריתם יעצור ב n שלבים הראשונים.

טענה 4: V מ"ו נוצר סופית, תת-מרחב של V כך ש אז .

נסמן n=\dim V ו m=\dim U.

קיים . יהי בסיס של . אז . ולכן בת"ל.

מכאן נובע כי .


השלישי חינם[עריכה]

טענה 2: אם מספר האיברים בקבוצה גדול ממספר האיברים בבסיס אז הקבוצה תלויה לינארית

תהי , ו- כל 2 מהתנאים הבאים גוררים את השלישי:

  1. פורשת את
  2. בת"ל
הוכחה

 : נסמן . נניח בשלילה שקיימים סקלרים כך ש- (אפשר לשנות את סדר האברים) אזי כל צ"ל הוא גם צ"ל , ולכן, גם פורשת. יהי בסיס ל- . לכן, , נקבל , אבל פורשת ו- בת"ל, בסתירה. לכן, בת"ל.

 : נניח בשלילה ש- אינה פורשת. אזי קיים שאינו צ"ל של . לכן, בת"ל. יהי בסיס ל- . נקבל , אבל בת"ל ו- פורשת, בסתירה. לכן, פורשת.

 : בסיס לפי ההגדרה, ולכן, . מש"ל