מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הגדרה 1: תלות לינארית
יהי מ"ו מעל שדה ו- תת קבוצה של ( (. נקראת תלויה ליניארית אם קיימים שונים זה מזה וסקלרים כך ש-
- קיים לפחות סקלר אחד שונה מאפס,
|
הגדרה 2: בלתי תלות לינארית (בת"ל)
תיקרא בלתי-תלויה לינארית אם לכל שונים, ולכל ,
|
דוגמה 1: בת"ל אזי הקבוצה בת"ל
תהי
נתון בת"ל ולכן כל ש- ומתקיים
יהי אזי כלומר מתקים
נתון כי בת"ל ולכן כל סקלר שנכפיל בהם שווה לאפס. מכאן בת"ל
|
דוגמה 2: ווקטורי היחידה הם קבוצה בת"ל
יהי מ"ו מעל וב- נראה ש- בת"ל .יהי כך אזי ולכן בהכרח ש-
|
דוגמה 2:
ת"ל מפני ש- מפני ש-
|
דוגמה 3: תהי בת"ל. הקבוצה ת"ל . נוכיח כי כלומר ת"ל
יהי אזי קיים צירוף לינארי :
נתון כי בת"ל ולכן v_{3}הוא צ"ל של הקבוצה כלומר תלוי בהם לינארית
|
משפט 1: תנאים שקולים לתלות לינארית
תהי קבוצה סופית וסדורה. התנאים הבאים שקולים:
- תלויה לינארית
- קיים ב- אבר שהוא צירוף לינארי של קודמיו
- קיים ב- אבר שהוא צירוף לינארי של האברים האחרים ב-
הוכחה: נוכיח :
: יהי צירוף לינארי לא טריוויאלי של , ויהי j המקסימלי המקיים . נקבל:
: טריוויאלי.
קיימים j ו- המקיימים .
נסמן , ונקבל , וזה צירוף לא-טריוויאלי, כי
|