אלגברה לינארית/קבוצות תלויה ובלתי תלויה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה 1: תלות לינארית

יהי מ"ו מעל שדה ו- תת קבוצה של ( (. נקראת תלויה ליניארית אם קיימים שונים זה מזה וסקלרים כך ש-

  1. קיים לפחות סקלר אחד שונה מאפס,


הגדרה 2: בלתי תלות לינארית (בת"ל)

תיקרא בלתי-תלויה לינארית אם לכל שונים, ולכל ,



דוגמה 1: בת"ל אזי הקבוצה בת"ל

תהי נתון בת"ל ולכן כל ש- ומתקיים

יהי אזי כלומר מתקים נתון כי בת"ל ולכן כל סקלר שנכפיל בהם שווה לאפס. מכאן בת"ל



דוגמה 2: ווקטורי היחידה הם קבוצה בת"ל

יהי מ"ו מעל וב- נראה ש- בת"ל .יהי כך אזי ולכן בהכרח ש-



טענה 1: ת"ל וקבוצה פורשת

יהי מ"ו מעל שדה ו- תת קבוצה של .

נקראת תלויה ליניארית אם קיימים כאשר קיים כך ש .

כלומר, הוא צירוף ליניארי של וקטורים אחרים מתוך



דוגמה 2:

ת"ל מפני ש- מפני ש-




דוגמה 3: תהי בת"ל. הקבוצה ת"ל . נוכיח כי כלומר ת"ל

יהי אזי קיים צירוף לינארי :

נתון כי בת"ל ולכן v_{3}הוא צ"ל של הקבוצה כלומר תלוי בהם לינארית



משפט 1: תנאים שקולים לתלות לינארית

תהי קבוצה סופית וסדורה. התנאים הבאים שקולים:

  1. תלויה לינארית
  2. קיים ב- אבר שהוא צירוף לינארי של קודמיו
  3. קיים ב- אבר שהוא צירוף לינארי של האברים האחרים ב-

הוכחה: נוכיח  :

 : יהי צירוף לינארי לא טריוויאלי של , ויהי j המקסימלי המקיים . נקבל:

 : טריוויאלי.

קיימים j ו- המקיימים .

נסמן , ונקבל , וזה צירוף לא-טריוויאלי, כי