מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הגדרה 1: תלות לינארית
יהי מ"ו מעל שדה ו- תת קבוצה של ( ( . נקראת תלויה ליניארית אם קיימים שונים זה מזה וסקלרים כך ש-
- קיים לפחות סקלר אחד שונה מאפס,
![{\displaystyle c_{i}\neq 0,\ 1\leq i\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b294d0c896647c0b87360d3de9fee87250296260)
![{\displaystyle c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56cc08a20585ecea2a5af91a09cb0efe04d17186)
|
הגדרה 2: בלתי תלות לינארית (בת"ל)
תיקרא בלתי-תלויה לינארית אם לכל שונים, ולכל ,
|
דוגמה 1: בת"ל אזי הקבוצה בת"ל
תהי
נתון בת"ל ולכן כל ש- ומתקיים
יהי אזי כלומר מתקים
נתון כי בת"ל ולכן כל סקלר שנכפיל בהם שווה לאפס. מכאן בת"ל
|
דוגמה 2: ווקטורי היחידה הם קבוצה בת"ל
יהי מ"ו מעל וב- נראה ש- בת"ל .יהי כך אזי ולכן בהכרח ש-
|
דוגמה 2:
ת"ל מפני ש- מפני ש-
|
דוגמה 3: תהי בת"ל. הקבוצה ת"ל . נוכיח כי כלומר ת"ל
יהי אזי קיים צירוף לינארי :
נתון כי בת"ל ולכן v_{3}הוא צ"ל של הקבוצה כלומר תלוי בהם לינארית
|
משפט 1: תנאים שקולים לתלות לינארית
תהי קבוצה סופית וסדורה. התנאים הבאים שקולים:
תלויה לינארית
- קיים ב-
אבר שהוא צירוף לינארי של קודמיו
- קיים ב-
אבר שהוא צירוף לינארי של האברים האחרים ב- ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
הוכחה: נוכיח :
: יהי צירוף לינארי לא טריוויאלי של , ויהי j המקסימלי המקיים . נקבל:
: טריוויאלי.
קיימים j ו- המקיימים .
נסמן , ונקבל , וזה צירוף לא-טריוויאלי, כי
|