אלגברה לינארית/דטרמיננטות

דטרמיננטה היא פונקציה שמקבלת מטריצה ריבועית $A_{n}$ מעל שדה $\mathbb {F}$, ומחזירה סקלר מאותו שדה. הדטרמיננטה של המטריצה $A$ מסומנת $|A|$. לעומת זאת, בכתיב מפורש, אם המטריצה היא $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$, אז את הדטרמיננטה נסמן ${\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$ ולא $\left|{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}\right|$. רק כאשר המטריצה היא מסדר $1\times 1$, נקפיד לכתוב $|A|=|[a]|$, ולא $|A|=|a|$, כדי שלא נתבלבל עם פונקציית הערך המוחלט.

הגדרת הדטרמיננטה

נגדיר קודם כל מושג עזר:

הגדרה: מטריצה מינורית תהי $A$ מטריצה ריבועית מסדר n. המטריצה המינורית על פי המקום ה-$(i,j)$ היא המטריצה $A_{ij}^{M}$ מסדר $n-1$, המוגדרת על פי: ${\begin{aligned}&\forall k<i,\ell <j,\left[A_{ij}^{M}\right]_{k\ell }=[A]_{k\ell }\\&\forall k\geq i,\ell <j,\left[A_{ij}^{M}\right]_{k\ell }=[A]_{k-1,\ell }\\&\forall k<i,\ell \geq j,\left[A_{ij}^{M}\right]_{k\ell }=[A]_{k,\ell -1}\\&\forall k\geq i,\ell \geq j,\left[A_{ij}^{M}\right]_{k\ell }=[A]_{k-1,\ell -1}\end{aligned}}$. במילים אחרות, זוהי המטריצה הנוצרת ממחיקת השורה הi והעמודה הj מהמטריצה A.

כעת נגדיר באופן רקורסיבי את הדטרמיננטה:

הגדרה: דטרמיננטה הדטרמיננטה של מטריצה A מסדר 1, שהיא $A=[a]$, מוגדרת $|A|={\big |}[a]{\big |}=a$. עבור $n\geq 2$, הדטרמיננטה של מטריצה $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$ מסדר $n$, תוגדר ברקורסיה $|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\left|A_{1j}^{M}\right|$.

נרשום באופן מפורש נוסחה לדטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר 2, שתקצר לנו את הדרך בהמשך: $|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=a\left|A_{11}^{M}\right|+(-1)b\left|A_{12}^{M}\right|=a{\big |}[d]{\big |}-b{\big |}[c]{\big |}=ad-bc$.