אלגברה לינארית/פונקציה n ליניארית

הגדרה 1: פונקציה n־לינארית פונקציה $D:M_{n\times n}(\mathbb {F} )\to \mathbb {F}$ (אנו מסמנים את הפונקציה $n$־לינארית ב־$D$ מאחר שבהמשך נראה כי היא מייצגת את הדטרמיננטה של המטריצה במידה ומקיימת תנאים נוספים) נקראת $n$־לינארית, כאשר היא לינארית לפי כל אחת העמודות כלומר, לכל $1\leq j\leq n$ מתקיימים התנאים הבאים: סכום פונקציות $n$־לינאריות הוא פונקציה לינארית: אם ${\begin{aligned}A={\bigl [}{\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{j},\ldots ,{\vec {v}}_{n}{\bigr ]}\\B={\bigl [}{\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{j}',\ldots ,{\vec {v}}_{n}{\bigr ]}\\C={\bigl [}{\vec {v}}_{1},\ldots ,({\vec {v}}_{j}+{\vec {v}}_{j}'),\ldots ,{\vec {v}}_{n}{\bigr ]}\end{aligned}}$ אז פונקציה $D$ מקיימת $D(A)+D(B)=D(C)$ כפל פונקציות $n$־לינאריות הוא פונקציה לינארית: אם $A={\bigl [}{\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{j},\ldots ,{\vec {v}}_{n}{\bigr ]},B{\bigl [}{\vec {v}}_{1},\ldots ,c{\vec {v}}_{j},\ldots ,{\vec {v}}_{n}{\bigr ]}$ עבור $c\in \mathbb {F}$ אז $D(B)=c\,D(A)$

דוגמה 1: פונקציה n־לינארית נגדיר $D:M_{n\times n}(\mathbb {F} )\to \mathbb {F} ,\,A={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$. נגדיר $D(A)=a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}$.

דוגמה 2: פונקציה n־לינארית אם $1\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n$ אז נגדיר $D(A)=a_{k_{1}1}a_{k_{2}2}\cdots a_{k_{n}n}$

משפט 1: אם $D_{1},D_{2}$ פונקציות $n$־לינאריות אז: $D_{1}+D_{2}$ היא פונקציה $n$־לינארית. $c\,D_{1}$ היא פונקציה $n$־לינארית לכל $c\in \mathbb {F}$.