חשבון אינפיניטסימלי/שדות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מבוא[עריכה]

כיון שבאלגברה לינארית ננסה להכליל מושגים שאנחנו מכירים מחיי היום יום כמו וקטורים, תלות לינארית ביניהם, פונקציות לינאריות וכדומה, ננסה למצוא קבוצה שמחקה את קבוצת המספרים הממשיים בתכונות שלה, וכך ההכללה תהיה הרבה יותר פשוטה וקלה.
שדה, הוא מבנה אלגברי, המכיל קבוצה ושתי פעולות בינאריות על הקבוצה הזו כך שמתקיימות תכונות מסוימות שיפורטו בהמשך. כלומר, ניקח קבוצה ונגדיר פעולות בין אבריה איך שאנחנו רוצים כל עוד התכונות נשמרות. אנחנו יכולים לקחת את ולהגדיר 2 פעולות בצורה הבאה: את פעולת ה"חיבור" נגדיר כך:

(נשים לב כי זהו לא חיבור רגיל ולכן חוק החילוף הוא לא דבר שאפשר להניח שקיים. אם ה"חיבור" שלי היה בעצם חיסור/חילוק/חזקה, ברור כי חוק החילוף לא היה מתקיים). כמו כן, נגדיר "כפל" בצורה הבאה:

אם 2 הפעולות מקיימות את כל התכונות שמפורטות למטה (במקרה הזה, הן כן מקיימות), אזי קבוצה תקרא "שדה".

הגדרה[עריכה]

תהי קבוצה, שמוגדרות עליה שתי פעולות, שתסומנה

שדה ביחס לפעולות האלה, אם ורק אם מתקיימות התכונות הבאות:

  • סגירות: לכל שני אברים מתקיים
וגם
  • חילוף:
  • קיבוץ:
  • פילוג משמאל:
  • קיימים המקיימים:
    • נייטרליות מימין:
    • נגדיות מימין: וגם

הערה: הפעולות נקראות בד"כ חיבור וכפל, ואברי השדה (שנראה בהמשך שהם יחידים) נקראים "הנייטרלי לחיבור" ו"הנייטרלי לכפל", או, אפס ואחד.

בהמשך, נסמן (כמובן, רק כאשר אין מקום לטעות)

במקום הסימן * לפעמים נרשום , ובד"כ אפילו נשמיטו לגמרי.

בגלל הקיבוץ, נשמיט את הסוגריים המציינות את סדר הפעולות כאשר יש כמה פעולות חיבור או כמה פעולות כפל, ואם יש גם חיבור וגם כפל בביטוי, ואין סוגריים, הכוונה לבצע קודם את הכפל.

תכונות[עריכה]

  • פילוג מימין:
    • הוכחה:
  • יחידות הנייטרלי: אם גם a וגם b נייטרלים לחיבור, או ששניהם נייטרלים לכפל, אזי a=b. הוכחה:
    • עבור נייטרלים לחיבור:
    • עבור נייטרלים לכפל:
  • נייטרליות משמאל:
    • הוכחה:
  • יחידות הנגדי לחיבור: יהי a ב- ויהיו b,c נגדיים לו לחיבור, אזי b=c
    • הוכחה:
  • יחידות הנגדי לכפל: יהי , ויהיו b,c נגדיים לו לכפל, אזי b=c
    • הוכחה:

סימון: יהיו אברים, הנגדי ל- לחיבור יסומן , יסומן , ואם , הנגדי ל- לכפל, יסומן

  • נגדיות לחיבור משמאל: יהי , אזי
    • הוכחה:
  • נגדיות לכפל משמאל: יהי , אזי
    • הוכחה:
  • סימטריות הנגדי: מתכונות הנגדי משמאל, נקבל שלכל , מתקיים , ואם אז
  • איפוס הכפל באפס:
    • הוכחה: , והשוויון השני מוכח ע"י החילוף.
  • שימור הנגדי לחיבור ע"י הכפל: לכל ,
    • הוכחה: , וע"פ הגדרת נגדי . הכיוון השני מוכח ע"י החילוף.
  • אין מחלקי אפס: לכל , אם אז או .
    • הוכחה: נניח בשלילה אזי קיים נכפול בו מימין, ונקבל , בסתירה.
  • אין נגדי לכפל לאפס: לכל ,
    • הוכחה:
  • פילוג הנגדי לכפל מעל הכפל: לכל ,
    • הוכחה: מוגדר, כי . , ולכן, ע"פ הגדרת הנגדי לכפל,
  • נסמן את הנגדי של בתור והוא מקיים לכל אבר בשדה: . זאת אומרת, הנגדי לנייטרלי של הכפל כפול אבר מסוים יתן את הנגדי לחיבור של אותו אבר.
    • הוכחה: ולכן הראינו שחיבור של ל- יתן לנו את ה-0, אך מיחידות הנגדי אנחנו יודעים שקיים רק אבר יחיד כזה ולכן זהו

דוגמאות[עריכה]

  • אינו שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים, כי לא קיים בו אבר נייטרלי לחיבור.
  • אינו שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים, כי ל-2 אין נגדי לכפל.
  • הם שדות ביחס לחיבור ולכפל הרגילים.
  • הוא שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים.
  • לכל ראשוני, שדה ביחס לחיבור ולכפל
  • שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגיל

תת-שדה[עריכה]

יהי שדה, ו- תת-קבוצה שלו.

אם שדה ביחס לפעולות המוגדרות ב- , אזי אומרים ש- תת-שדה של

מציין של שדה[עריכה]

כפל במספר טבעי[עריכה]

יהי שדה, ו- . אזי מוגדר בצורה הבאה:

הגדרת המציין[עריכה]

יהי שדה, ויהי n המספר הטבעי הקטן ביותר המקיים המציין של מוגדר להיות . אם לא קיים n כזה, . לדוגמא, בשדה השלמים מודולו p ראשוני - p הוא המציין של השדה.

תכונות[עריכה]

המציין של שדה הוא תמיד או 0 או מספר ראשוני.

יהי תת-שדה של . אזי

יהי שדה. אם , אז תת-שדה של , ואם לא, אז תת-שדה של (עד כדי שינוי שמות האברים.