חשבון אינפיניטסימלי/שדות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מבוא[עריכה]

בפרק זה נגדיר את המספרים הממשים. המספרים הממשים חיים בשדה.

מושגי יסוד[עריכה]

סימון פירוש
האיבר בקבוצה
לכל
קיים

שדה[עריכה]

הגדרה 1: שדה ()

נאמר שקבוצה היא שדה אם מוגדרות עליה שתי פעולות, חיבור () וכפל () המקיימות את אקסיומות הבאות (נקראות אקסיומות השדה) לכל (לכל איברים הנמצאים בשדה):

  • סגירות לחיבור,
  • סגירות לכפל,
  • חילוף בחיבור,
  • חילוף בכפל,
  • קיבוץ לחיבור,
  • קיבוץ לכפל,
  • פילוג,

כמו גם בשדה קיימים שני איברים (נסמנם אחד ואפס) שונים זה מזה, כאשר , [1] המקיימים:

  • ניטרליות (או אדישות) לאפס בחיבור:
  • ניטרליות לאחד בכפל:
  • נגדיות של איברים,
  • קיום איבר הפכי,

סימונים[עריכה]

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



  1. פעולת החיסור ב-:
  2. פעול החילוק
  3. איבר הפכי : יהיו אברים, הנגדי ל- לחיבור יסומן , יסומן , ואם , הנגדי ל- לכפל, יסומן
  4. נסמן את הנגדי של בתור

הוכחות[עריכה]

בחלק זה נוכיח הוכחות טריווליות. עיקר החשיבות היא להבין כיצד יש לגשת ולפתור תרגילים מסוג זה.


טענה 1.1: בשדה קיים רק איבר אחד האדיש לחיבור

יהי

נשווה את שתי המשוואות של נקבל .

נוסיף איברים נגדיים, .

על פי כלל החילוף לחיבור, .

על פי כלל הקיבוץ לחיבור, .

על פי חיבור מספרים נגדיים, .

על פי נטרליות לאפס נקבל .

  • נהוג לסמן את האיבר ב-


טענה 1.2: בשדה קיים רק איבר אחד האדיש לכפל

יהי

נשווה את שתי המשוואות של נקבל

נוסיף איבר הופכי,

על פי כללי החילוף לכפל,

על פי כללי הקיבוץ לכפל,

על פי נטרליות אחד,

  • נהוג לסמן את האיבר האדיש לכפל ב-


טענה 1.3: לכל איבר בשדה קיים איבר נגדי יחיד

יהי . נניח בשלילה כי קיימים שני איברים נגדיים ל-, ונסמנם ב-

כך שמתקיים

נשווה את שתי המשוואות

נוסיף איבר נגדי

על פי חוק החילוף, קיבוץ וחיבור מספרים נגדים,

על פי נטרליות לאפס,


טענה 1.4: לכל איבר בשדה השונה מאפס קיים הופכי יחיד

יהי . נניח בשלילה כי קיימים שני איברים הופכים ל-, ונסמנם ב-

כך שמתקיים

נשווה את שתי המשוואות

נוסיף איבר הפכי ל-, נקבל

על פי חוק החילוף, קיבוץ וכפל איברים נגדיים,

על פי נטרליות לאחד,


טענה 2:

נניח בשלילה ש-. יהי המקיים ש-

נוסיף משני האגפים את האיבר הנגדי ל-, נסמנו , כך שמתקיים

על פי חיבור איברים וקיבוץ של חיבור,

על פי נטרליות לאפס, בסתירה להנחתנו ולכן


טענה 3.1: כפל באפס

יהי אזי

על פי פילוג,

המשוואה שקבלנו מקיימת טענה 2 וכל


טענה 3.2: כפל שני איברים שווה אפס

מאחר שיש לפנינו משוואה של אם"ם (המסומנת על ידי ) עלינו להוכיח נכונות משני הכיוונים.

מכיוון ראשון, נתון כי על פי טענה 3.1 בהכרח מתקיים . באופן דומה נוכיח עבור .

מכיוון שני, נתון כי . נניח בשלילה כי .

מאחר ש- קיים ל- איבר הפכי המקיים בסתירה לאקסיומת של מספר הפכי.


טענה 5:

עלינו להוכיח קיום ויחידיות של .

נוכיח יחידות: נניח שקיימים כך שמתקיים וגם

נשווה את המשוואות,

נוסיף איבר נגדי ל-b משני האגפים,

על פי חיבור מספרים נגדים ונטרליות לאפס

נוסיף איבר נגדי ל- משני האגפים, ונכפיל,

על פי נטרליות לאחד, .

נוכיח קיום : מסגירות וחיבור השדה.

נציב את במשוואה ונקבל

על פי כלל הקיבוץ, כפל הופכי ונטרליות לאחד נקבל

על פי חיבור מספרים נגדים ונטרליות לאפס נקבל כי פתרון המשוואה


טענה 9.1: חוק הסימנים:

ע"פ הגדרת נגדי .

הכיוון השני מוכח ע"י החילוף.


טענה 9.2: חוק הסימנים:


טענה 9.3:

יהי נוכיח כי מתקיים ואז נוכל לטעון כי על פי הוספת איבר נגדי.

על פי פילוג,

על פי חוק החילוף

פעולות חשבון משמאל[עריכה]

טענה 7.1: ניתן לחבר מספרים נגדים מכיוון שמאל

יהי , אזי

על פי חוק החילוף,

על פי חיבור איברים נטרלים נקבל


טענה 7.2: ניתן לכפול מספרים הופכים משמאל

על פי חילוף לכפל נקבל .


טענה 7.3: ניתן לבצע הכפלה של מספר נטרלי מכיוון שמאל

על פי חוק החילוף לכפל


טענה 7.4: לא ניתן לחלק באפס

נניח בשלילה אזי קיים נכפול בו מימין, ונקבל , בסתירה.


טענה 7.5: אין איבר נגדי לכפל לאפס ()


עוד טענות[עריכה]

טענה 5.1:


טענה 5.2:


טענה 5.3:


טענה 5.4:


טענה 6.1.1: סימטריות הנגדי,


טענה 6.1.2: סימטריות ההפכי,


טענה 8.1:


טענה 10: מינוס אחד כפול איבר שווה לאיבר הנגדי של אותו איבר

יהי

על פי כפל באפס:

על פי פילוג

נוסיף איבר נגדי,

על פי חיבור מספרים נגדים


טענה 11: פילוג הנגדי לכפל מעל הכפל.לכל ,

נתון

איבר הופכי, ab,

ע"פ חילוף וקיבוץ,

איבר הפכי,

אדישות ל-1,


טענה 12.1:

על פי פילוג נקבל


טענה 12.2:

על פי חוק הפילוג


טענה 12.3:

מסעיף 12.2 נובע

מחילוף כפל ואדישות ל-1 נקבל


טענה 13:

על פי כפל מספרים נגדים,

על פי חילוף,

על פי פילוג,

דוגמאות[עריכה]

  • אינה שדה מפני שלא קיים בו איבר נייטרלי לחיבור.
  • אינו שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים, כי אין לאיברים מספר הפכי.
  • הם שדות ביחס לחיבור ולכפל הרגילים.
  • הוא שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים.
  • לכל ראשוני, שדה ביחס לחיבור ולכפל
  • שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגיל

תת-שדה[עריכה]

יהי שדה, ו- תת-קבוצה שלו.

אם שדה ביחס לפעולות המוגדרות ב- , אזי אומרים ש- תת-שדה של

  1. ^ ידוע גם בשם אי טריוויאליות השדה (NT)