אלגברה לינארית/הרכבת העתקות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה 1: העתקה לינארית

יהיו מ.ו ו־ ו־ ה.ל. יהיו בסיסים סדורים של בהתאמה.

אזי היא העתקה לינארית ומתקיים:



דוגמה 1: העתקות לינאריות

תהי ההעתקה המוגדרת ע"י

ו־ להיות ההעתקה המוגדרת ע"י אז היא ההעתקה

לחילופין, נתבונן .

נציב את ההעתקה המקיימת

ואת ההעתקה המקיימת

אז מכפלתם



משפט 2:

יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית ו ה"ל. התנאים הבאים שקולים:

  1. T הפיכה.
  2. לכל זוג בסיסים B ו C של V ו W בהתאמה המטריצה הפיכה.
  3. קיים זוג בסיסים B ו C של V ו W בהתאמה המטריצה הפיכה.


הוכחה: נוכיח את השקילות בגרירה מעגלית.

נניח ש הפיכה ויהיו B בסיס של V ו C בסיס של W.

אז קיימת ליניארית. מתקיים

מאחר ולכל מרחב וקטורי נוצר סופית יש בסיס, הגרירה מיידית.

יהיו B,C זוג בסיסים כך ש הפיכה. נסמן ב A את ההופכית של .

ממשפט (2) שניסחנו קיימת ויחידה ה"ל כך ש. מתקיים ומיחידות נובע , ולכן T הפיכה.


מש"ל.PNG



משפט 1.8.1: הרכבה

יהיו מרחבים וקטוריים מעל , ותהיינה העתקות לינאריות אז ההרכבה , גם היא העתקה לינארית.


הוכחה: יהיו .

  • אדטיביות - יהיו אזי
  • הומגניות - יהי ו .


מש"ל.PNG


העתקה הפיכה[עריכה]

משפט 2: הרכבה של העתקה - הפיכה

יהיו מ"ו מעל ו חח"ע ועל. נסמן ב את ההעתקה ההפוכה ל כלומר אז היא העתקה ליניארית.

תזכורת: אם העתקה חח"ע ועל אז קיימת העתקה הפוכה ל .כלומר קיימת כך ש ו


הוכחה: יהיו .

נסמן ו אז ובדומה .

  • מאחר ש T ה"ל מתקיים .
  • אדטיביות
  • הומוגניות - יהיו ו נסמן אז מאחר ש T ה"ל מתקיים אז מתקיים:

העתקה שמקיימת את תנאי הטענה נקראת הפיכה.

מש"ל.PNG




דוגמה 2: מציאת העתקה הפוכה

נתונה , מצא את .

נדרג את ונקבל שאין פתרון. ולכן .




דוגמה 3: מציאת העתקה הפוכה

נתונה , מצא את .

נדרג את המטריצה ונקבל: אז קבוצת הפתרונות של המערכת היא: