אלגברה לינארית/חישוב דטרמיננטה באמצעות דירוג

בפרק דטרמיננטה הוכחנו בטענה כי ניתן למצוא דטרמיננטה על ידי דירוג מטריצה כאשר:

• הכפלה בקבוע: אם $\varepsilon :C_{i}\Leftrightarrow C_{j}$ אזי מלינאריות ומטענה 6 נקבל: $D(AE)=D(\varepsilon (A))=cD(A)=D(A)\cdot D(E)$
• החלפת שורה: אם $\varepsilon :C_{i}\Leftrightarrow C_{j}$ אזי מטענה 2 ומטענה 6 נקבל: $D(AE)=D(\varepsilon (A))=D(A)=D(A)\cdot D(E)$
• הוספה של קבוע: אם $\varepsilon :C_{i}\Leftrightarrow C_{j}+cC_{i}$ אזי מטענה 5 ומטענה 6 נקבל: $D(AE)=D(\varepsilon (A))=D(A)=D(A)\cdot D(E)$ כלומר אין השפעה על הדטרמיננטה (בהנחה שלא הכפלנו בקבוע ואז הוספנו את הקבוע)
• החלפה שורה – הכפלת דטרמיננטה ב־1-.

בנוסף על פי הגדרה של פונקציה לינארית מתחלפת, לכל מטריצה $A$ שיש לה שתי עמודות סמוכות זהות מתקיים $D(A)=0$.

${\begin{pmatrix}4&4&1&1\\0&2&1&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\Rightarrow 4{\begin{pmatrix}1&1&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\0&2&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\Rightarrow 4\cdot 2{\begin{pmatrix}1&1&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\Rightarrow 4\cdot 2{\begin{pmatrix}1&1&{\frac {1}{4}}&0\\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\Rightarrow 4\cdot 2{\begin{pmatrix}1&1&{\frac {1}{4}}&0\\0&1&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\Rightarrow 4\cdot 2{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\Rightarrow 4\cdot 2{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\Rightarrow \det =8$

לא להתבלבל עם דירוג:

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&4&1&1\\0&2&1&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}&\ {\xrightarrow[{}]{R_{1}:{\frac {1}{4}}R_{1}}}\ {\begin{pmatrix}1&1&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\0&2&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ {\xrightarrow[{}]{R_{2}:-{\frac {1}{2}}R_{2}}}\ {\begin{pmatrix}1&1&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ {\xrightarrow[{}]{R_{1}:R_{1}-{\frac {1}{4}}R_{4}}}\ {\begin{pmatrix}1&1&{\frac {1}{4}}&0\\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\\&{\xrightarrow[{}]{R_{2}:R_{2}-{\frac {1}{2}}R_{4}}}\ {\begin{pmatrix}1&1&{\frac {1}{4}}&0\\0&1&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ {\xrightarrow[{}]{R_{1}:R_{1}-{\frac {1}{4}}R_{3}}}\ {\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ {\xrightarrow[{}]{R_{2}:R_{2}-{\frac {1}{2}}R_{3}}}\ {\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$