מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הגדרה 1: העתקה לינארית (קריטריון מקוצר)
יהיו
V
,
W
{\displaystyle V,W}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W}
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
T
[
x
1
⋮
x
n
]
=
[
a
11
x
1
a
12
x
2
⋯
a
1
n
x
n
a
21
x
1
a
22
x
2
⋯
a
2
n
x
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
⋯
a
m
n
x
n
]
{\displaystyle T{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}x_{2}&\cdots &a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}&a_{22}x_{2}&\cdots &a_{2n}x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+&a_{m2}x_{2}&\cdots &a_{mn}x_{n}\end{bmatrix}}}
תיקרא העתקה לינארית (ובקיצור ה.ל ) אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:
אדיטיביות:
∀
v
1
,
v
2
∈
V
:
T
(
v
1
+
v
2
)
=
T
(
v
1
)
+
T
(
v
2
)
{\displaystyle \forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V:\ T(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+T(\mathbf {v} _{2})}
הומוגניות:
∀
α
∈
F
,
v
∈
V
:
T
(
α
v
)
=
α
T
(
v
)
{\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {F} ,\mathbf {v} \in V:\ T(\alpha \mathbf {v} )=\alpha \,T(\mathbf {v} )}
הוכחה:
תהי
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W}
T
{\displaystyle T}
∀
v
1
,
v
2
∈
V
,
α
∈
F
:
T
(
v
1
+
α
v
2
)
=
T
(
v
1
)
+
α
T
(
v
2
)
{\displaystyle \forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V,\alpha \in \mathbb {F} :\ T(\mathbf {v} _{1}+\alpha \mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+\alpha \,T(\mathbf {v} _{2})}
הוכחה: אם
T
{\displaystyle T}
T
(
v
1
+
α
v
2
)
=
T
(
v
1
)
+
T
(
α
v
2
)
=
T
(
v
1
)
+
α
T
(
v
2
)
{\displaystyle T(\mathbf {v} _{1}+\alpha \mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+T(\alpha \mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+\alpha \,T(\mathbf {v} _{2})}
בכיוון ההפוך, אם תנאי זה מתקיים נקבל:
T
(
v
1
+
v
2
)
=
T
(
v
1
+
1
v
2
)
=
T
(
v
1
)
+
1
T
(
v
2
)
=
T
(
v
1
)
+
T
(
v
2
)
{\displaystyle T(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1}+1\mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+1\,T(\mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+T(\mathbf {v} _{2})}
T
(
0
V
)
=
T
(
0
V
+
(
−
1
)
0
V
)
=
T
(
0
V
)
−
T
(
0
V
)
=
0
W
⇒
T
(
α
v
)
=
T
(
0
V
+
α
v
)
=
0
W
+
α
T
(
v
)
=
α
T
(
v
)
{\displaystyle T(\mathbf {0} _{V})=T{\bigl (}\mathbf {0} _{V}+(-1)\mathbf {0} _{V}{\bigr )}=T(\mathbf {0} _{V})-T(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}\ \Rightarrow \ T(\alpha \mathbf {v} )=T(\mathbf {0} _{V}+\alpha \mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}+\alpha T(\mathbf {v} )=\alpha \,T(\mathbf {v} )}
יהיו
V
,
W
{\displaystyle V,W}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W}
T
(
0
V
)
=
0
W
{\displaystyle T(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}}
הוכחה:
T
(
0
→
V
)
=
T
(
0
F
⋅
0
→
V
)
=
0
F
⋅
T
(
0
→
V
)
=
0
→
W
{\displaystyle T({\vec {0}}_{V})=T(0_{F}\cdot {\vec {0}}_{V})=0_{F}\cdot T({\vec {0}}_{V})={\vec {0}}_{W}}
T
(
−
v
→
)
=
−
T
(
v
→
)
{\displaystyle T(-{\vec {v}})=-T({\vec {v}})}
הוכחה:
T
(
−
v
→
)
=
T
(
−
1
⋅
v
→
)
=
−
1
⋅
T
(
v
→
)
=
−
T
(
v
→
)
{\displaystyle T(-{\vec {v}})=T(-1\cdot {\vec {v}})=-1\cdot T({\vec {v}})=-T({\vec {v}})}
העתקה שומרת על צירופים לינאריים: לכל סדרת וקטורים
v
→
1
,
…
,
v
→
n
∈
V
{\displaystyle {\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}\in V}
c
1
,
…
,
c
n
∈
F
{\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {F} }
T
(
c
1
v
→
1
+
…
+
c
n
v
→
n
)
=
c
1
T
(
v
→
1
)
+
…
+
c
n
T
(
v
→
n
)
{\displaystyle T(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\ldots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}T({\vec {v}}_{1})+\ldots +c_{n}T({\vec {v}}_{n})}
T
(
∑
i
=
1
n
c
i
v
→
i
)
=
∑
i
=
1
n
c
i
T
(
v
→
i
)
{\displaystyle T\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\vec {v}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}T({\vec {v}}_{i})}
הוכחה:
T
(
c
1
v
→
1
+
⋯
+
c
n
v
→
n
)
=
T
(
c
1
v
→
1
)
+
⋯
+
T
(
c
n
v
→
n
)
=
c
1
T
(
v
→
1
)
+
⋯
+
c
n
T
(
v
→
n
)
{\displaystyle T(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=T(c_{1}{\vec {v}}_{1})+\cdots +T(c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}T({\vec {v}}_{1})+\cdots +c_{n}T({\vec {v}}_{n})}
T
(
∑
i
=
1
n
c
i
v
→
i
)
=
∑
i
=
1
n
T
(
c
i
v
→
i
)
=
∑
i
=
1
n
c
i
T
(
v
→
i
)
{\displaystyle T\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\vec {v}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}T(c_{i}{\vec {v}}_{i})=\sum _{i=1}^{n}c_{i}T({\vec {v}}_{i})}
תרגיל 1:
T
[
0
0
1
]
=
1
,
T
[
1
−
1
0
]
=
2
,
T
[
1
−
1
1
]
=
3
{\displaystyle T{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}=1,T{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}=2,T{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}}=3}
הווקטורים שלפנינו תלוים לינארית ולכן נוכיח כי קיימת העתקה לינארית על פי הגדרה:
אדיטיביות:
T
[
1
−
1
1
]
=
T
[
0
0
1
]
+
T
[
1
−
1
0
]
{\displaystyle T{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}+T{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}}
נפעיל את העתקה ונקבל:
3
=
2
+
1
{\displaystyle 3=2+1}
תרגיל 3:
T
[
1
0
0
]
=
1
,
T
[
1
−
1
0
]
=
2
,
T
[
1
−
1
1
]
=
3
{\displaystyle T{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}=1,T{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}=2,T{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}}=3}
נוכיח כי קבוצת הווקטורים הם בת"ל.
a
[
1
0
0
]
+
b
[
1
−
1
0
]
+
c
[
1
−
1
1
]
=
0
{\displaystyle a{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}+c{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}}=0}
{
a
+
b
+
c
=
0
→
a
=
0
−
b
−
c
=
0
→
b
−
0
c
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}a+b+c=0\to a=0\\-b-c=0\to b-0\\c=0\end{cases}}}
(ניתן להוכיח כי הווקטורים ב.ת.ל שכן מייצרים מטריצה משולשת שהנה הפיכה ולכן בהכרח עמודותיה ב.ת.ל) קבוצת הווקטורים היא בת"ל וכמו ניתן לייצר באמצעותה כל צירוף לינארי של ווקטורי
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
