אלגברה לינארית/העתקות לינאריות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

העתקה לינארית[עריכה]

Kern Mathematik.svg

הגדרה 1: העתקה לינארית (קרטריון מקוצר)

יהיו מרחבים וקטוריים מעל ותהי הפונקציה .

תיקרא העתקה לינארית (ובקיצור ה"ל) אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:

  • אדיטיביות:
  • הומוגניות:

הוכחת ההגדרה[עריכה]

תהי פונקציה. T היא ה"ל אמ"מ

הוכחה: אם T ה"ל, אזי

בכיוון ההפוך, אם תנאי זה מתקיים, נקבל:

תכונות של העתקה[עריכה]

  • תהי ה"ל, אזי:מהוכחת הקריטריון המקוצר, נובע:
  • העתקה שומרת על צירופים לינאריים: יהיו מ"ו מעל שדה . תהי העתקה לינארית אזי לכל סדרת וקטורים ולכל סדרת סקלרים מתקיים כלומר

הוכחה:

תרגיל[עריכה]

האם קיימת העתקה לינארית ?

הווקטורים שלפנינו תלוים לינארית ולכן נוכיח כי קיימת העתקה לינארית על פי הגדרה:

אדטיביות:

נפעיל את העתקה ונקבל:

משפט:קיומה של העתקה לינארית[עריכה]

משפט 1: קיומה של העתקה לינארית

אם מרחבים וקטוריים מעל ו- וקטורי הבסיס אזי קיימת העתקה לינארית יחידה כך ש-


תרגיל[עריכה]

האם קיימת העתקה לינארית ?

פתרון: נוכיח כי קבוצת הווקטורים הם בת"ל.

(ניתן להוכיח כי הווקטורים בת"ל שכן מייצרים מטריצה משולשת שהינה הפיכה ולכן בהכרח עמודותיה בת"ל) קבוצת הווקטורים היא בת"ל וכמו ניתן לייצר באמצעותה כל צירוף לינארי של ווקטורי

לכן לפי המשפט קיימת העתקה לינארית.

משפט תלות[עריכה]

משפט 2: אם ווקטורי התחום תלוים לינארית אזי גם העתקה

תהי העתקה לינארית. אם ת"ל אזי ת"ל.


המרחב של העתקות לינאריות (Hom)[עריכה]

תהיינה ה"ל, ו- . אזי:

  • סכום העתקות, יוגדר בצורה הבאה:
  • מכפלת העתקה בסקלר, תוגדר כך:

נשם לב כי גם הן העתקות לינאריות מ- ל-.

במילים אחרות, כל ה"צירופים הלינארים" של העתקות, כפי שניתן לראות לעיל פורשות תת מרחב מעל השדה.


הגדרה 1: Hom

יהיו מרחבים וקטוריים מעל . אוסף כל העתקות הלינאריות מ- ל- מהווה מרחב וקטורי מעל . קבוצה זו, תסומן



משפט 1: הוא מימד סופי


סוגי העתקות[עריכה]

  • העתקת הזהות - תהי העתקה ומתקיים ש- נקראת מטריצת הזהות
  • העתקה חח"ע - יהיו מ"ו מעל שדה . תהי העתקה לינארית. תקרא העתקה חח"ע אם לכל , כאשר ולכל גורר , או לחילופין גורר .
  • העתקה על - אם לכל התמונה של לפחות אחד.
  • העתקה לינארית יחידה
  • העתקה איזומורפיזם - העתקה חח"ע ועל



משפט 1.8.1:

תהי העתקה לינארית חח"ע ועל אזי קיימת העתקה הפוכה


הרכבה[עריכה]

יהיו מרחבים וקטוריים מעל , ותהיינה העתקות לינאריות.

ההרכבה , גם היא העתקה לינארית. נוכיח זאת לפי הקריטריון המקוצר:

יהיו . אזי