אלגברה לינארית/העתקות לינאריות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

העתקה לינארית[עריכה]

Kern Mathematik.svg


הגדרה 1: העתקה לינארית

יהיו מ"ו ו- ו- ה"ל. יהיו בסיסים סדורים של בהתאמה.

אזי היא העתקה ליניארית ומתקיים:



דוגמה 1: העתקות לינאריות

תהי ההעתקה המוגדרת ע"י

ו- להיות ההעתקה המוגדרת ע"י אז היא ההעתקה

לחילופין, נתבונן .

נציב את ההעתקה המקיימת

ואת ההעתקה המקיימת

אז מכפלתם,


הגדרה 1: העתקה לינארית (קרטריון מקוצר)

יהיו מרחבים וקטוריים מעל ותהי הפונקציה .

תיקרא העתקה לינארית (ובקיצור ה"ל) אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:

  • אדיטיביות:
  • הומוגניות:

הוכחת ההגדרה[עריכה]

תהי פונקציה. T היא ה"ל אמ"מ

הוכחה: אם T ה"ל, אזי

בכיוון ההפוך, אם תנאי זה מתקיים, נקבל:

תכונות של העתקה[עריכה]

  • תהי ה"ל, אזי:מהוכחת הקריטריון המקוצר, נובע:
  • העתקה שומרת על צירופים לינאריים: יהיו מ"ו מעל שדה . תהי העתקה לינארית אזי לכל סדרת וקטורים ולכל סדרת סקלרים מתקיים כלומר

הוכחה:

תרגיל[עריכה]

האם קיימת העתקה לינארית ?

הווקטורים שלפנינו תלוים לינארית ולכן נוכיח כי קיימת העתקה לינארית על פי הגדרה:

אדטיביות:

נפעיל את העתקה ונקבל:

משפט:קיומה של העתקה לינארית[עריכה]

משפט 1: קיומה של העתקה לינארית

אם מרחבים וקטוריים מעל ו- וקטורי הבסיס אזי קיימת העתקה לינארית יחידה כך ש-


תרגיל[עריכה]

האם קיימת העתקה לינארית ?

פתרון: נוכיח כי קבוצת הווקטורים הם בת"ל.

(ניתן להוכיח כי הווקטורים בת"ל שכן מייצרים מטריצה משולשת שהינה הפיכה ולכן בהכרח עמודותיה בת"ל) קבוצת הווקטורים היא בת"ל וכמו ניתן לייצר באמצעותה כל צירוף לינארי של ווקטורי

לכן לפי המשפט קיימת העתקה לינארית.

משפט תלות[עריכה]

משפט 2: אם ווקטורי התחום תלוים לינארית אזי גם העתקה

תהי העתקה לינארית. אם ת"ל אזי ת"ל.


סוגי העתקות[עריכה]

  • העתקת הזהות - תהי העתקה ומתקיים ש- נקראת מטריצת הזהות
  • העתקה חח"ע - יהיו מ"ו מעל שדה . תהי העתקה לינארית. תקרא העתקה חח"ע אם לכל , כאשר ולכל גורר , או לחילופין גורר .
  • העתקה על - אם לכל התמונה של לפחות אחד.
  • העתקה לינארית יחידה
  • העתקה איזומורפיזם - העתקה חח"ע ועל



משפט 1.8.1:

תהי העתקה לינארית חח"ע ועל אזי קיימת העתקה הפוכה


הרכבה[עריכה]

יהיו מרחבים וקטוריים מעל , ותהיינה העתקות לינאריות.

ההרכבה , גם היא העתקה לינארית. נוכיח זאת לפי הקריטריון המקוצר:

יהיו . אזי