אלגברה לינארית/פעולות עמודה על מטריצה

שקלו לדלג על נושא זה עד לימוד הנושא השלמת קבוצה בת"ל כך שתפרוש את המרחב

הגדרה 1: פעולות עמודה נתונה מטריצה $A\in M_{m\times n}$. יש 3 פעולות עמודה אלמנטריות. נסמן את העמודה ה-$i$ ב-$C_{i}$: $C_{i}\to c\cdot C_{i}$ כאשר $0\neq c\in \mathbb {F}$ $C_{i}\to c\cdot C_{j}$ כאשר $i\neq j$ $C_{i}\leftrightarrow C_{j}$

טענה 1: לכל פעולת עמודה אלמנטרית יש פעולה הפוכה

טענה 2: לכל פעולת עמודה אלמנטרית $\epsilon$ ניתן להתאים מטריצה: $\epsilon \left(I_{n}\right)$ (לא $I_{m}$ בניגוד לפעולות שורה)

טענה 3: ביצוע של פעולת עמודה אלמנטרית $\epsilon$ על מטריצה $A$ נותן מטריצה $A\cdot \left(\epsilon \left(I_{n}\right)\right)$ - המטריצה האלמנטרית מצד ימין בפעולות עמודה.

טענה 4: נתונות $A,B\in M_{m\times n}$. נסמן את העמודה ה -$i$ של $A$ ב-$v_{i}$, ונסמן את העמודה ה-$i$ של $B$ ו-$w_{i}$. אם $B$ מתקבלת מ-$A$ ע"י סדרת פעולות עמודה אלמנטריות, אז $span\left(v_{1},..,v_{n}\right)=span\left(w_{1},..,w_{n}\right)$ נניח בלי הגבלת הכלליות ש-$B$ מתקבלת מ$A$ ע"י פעולת עמודה אלמנטרית אחת. נסמן $\epsilon \left(I_{n}\right)=P={\begin{bmatrix}p_{1}&&p_{1n}\\\\p_{n1}&&p_{nn}\end{bmatrix}}$. אז $B=AP$. מכיוון ראשון $span\left(w_{1},..,w_{n}\right)\subset span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$: יהי $w\in span\left(w_{1},..,w_{n}\right)$, קיימים $c_{1},..,c_{n}\in \mathbb {F}$ כך ש $w=c_{1}w_{1}+...+c_{n}w_{n}$. מההגדרה מתקיים: $w_{1}=A{\begin{bmatrix}p_{11}\\\vdots \\p_{1n}\end{bmatrix}}=p_{11}v_{1}+...+p_{1n}v_{n}$ וכן הלאה לכל $w_{i}=A\cdot {\begin{bmatrix}p_{i1}\\\vdots \\p_{in}\end{bmatrix}}=p_{i1}v_{1}+...+p_{in}v_{n}$. נציב את $w_{i}$ במשוואה של $w$ ונקבל צירוף ליניארי $w_{\text{i}}=\left(p_{i1}v_{1},..p_{in}v_{n}\right)$ ולכן $w\in span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$. מכיוון שני, $span\left(w_{1},..,w_{n}\right)\supseteq span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ אם $B$ מתקבלת מ$A$ ע"י פעולת עמודה אלמנטרית, אז גם $A$ מתקבלת מ $B$ בצורה זו. (ההכלה דו כיוונית) ולכן $span\left(w_{1},..,w_{n}\right)=span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$

טענה 5: השלמה לבסיס תהי $R\in M_{m\times n}$ מטריצה מדורגת מצומצמת עמודות בעלת $l$ איברים מובילים. אז $n-l$ עמודות אחרונות של $R$ הן אפסים. נסמן ב-$i_{1}<i_{2}..<i_{l}$ מספרי שורות של $R$ שמכילות איבר מוביל. ונסמן ב-$j_{1}<..<j_{m-l}$ מספרי השורות ללא איבר מוביל. נסמן את העמודה ה-$i$ של $R$ ב-$w_{i}$ , אז: $\left(w_{1},..,w_{l}\right)$ מהווה בסיס של $span\left(w_{1},..,w_{n}\right)$ אם נוסיף את $\left(w_{1},..,w_{l},e_{j_{1}},..,e_{j_{n-l}}\right)$ - נוסיף וקטורים מהבסיס הסטנדרטי בשורות שלא היה בהן איבר מוביל, נקבל בסיס של $\mathbb {F} ^{m}$.

דוגמה 1: $R={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {1}}&0&0&0\\2&0&0&0\\0&{\boldsymbol {1}}&0&0\\4&7&0&0\\0&0&{\boldsymbol {1}}&0\end{bmatrix}}$ אז $l=3,i_{1}=1,i_{2}=3,i_{3}=5,j_{1}=2,j_{2}=4$ אזי $\left(w_{1},w_{2},w_{3},e_{2},e_{4}\right)$ מהווה בסיס של $\mathbb {R} ^{5}$