אלגברה לינארית/פעולות עמודה על מטריצה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש


Edit-undo.svg

שקול לדלג על נושא זה

עד לימוד הנושא השלמת קבוצה בת"ל כך שתפרוש את המרחב



הגדרה 1: פעולות עמודה

נתונה מטריצה . יש 3 פעולות עמודה אלמנטריות. נסמן את העמודה ה- ב-:

  1. כאשר
  2. כאשר


טענה 1: לכל פעולת עמודה אלמנטרית יש פעולה הפוכה

טענה 2: לכל פעולת עמודה אלמנטרית ניתן להתאים מטריצה: (לא בניגוד לפעולות שורה)

טענה 3: ביצוע של פעולת עמודה אלמנטרית על מטריצה נותן מטריצה - המטריצה האלמנטרית מצד ימין בפעולות עמודה.

טענה 4: נתונות . נסמן את העמודה ה - של ב-, ונסמן את העמודה ה- של ו-. אם מתקבלת מ- ע"י סדרת פעולות עמודה אלמנטריות, אז

נניח בלי הגבלת הכלליות ש- מתקבלת מ ע"י פעולת עמודה אלמנטרית אחת.

נסמן . אז .

מכיוון ראשון :

יהי , קיימים כך ש .

מההגדרה מתקיים: וכן הלאה לכל .

נציב את במשוואה של ונקבל צירוף ליניארי ולכן .

מכיוון שני,

אם מתקבלת מ ע"י פעולת עמודה אלמנטרית, אז גם מתקבלת מ בצורה זו. (ההכלה דו כיוונית)

ולכן

טענה 5: השלמה לבסיס

תהי מטריצה מדורגת מצומצמת עמודות בעלת איברים מובילים. אז עמודות אחרונות של הן אפסים.

נסמן ב- מספרי שורות של שמכילות איבר מוביל. ונסמן ב- מספרי השורות ללא איבר מוביל.

נסמן את העמודה ה- של ב- , אז:

  1. מהווה בסיס של
  2. אם נוסיף את - נוסיף וקטורים מהבסיס הסטנדרטי בשורות שלא היה בהן איבר מוביל, נקבל בסיס של .



דוגמה 1:

אז אזי מהווה בסיס של