אלגברה לינארית/איחוד של תתי מרחב

משפט 1: $U + W = span (U \cup W)$

משפט 2: איחוד של תתי מרחב אינו בהכרח תת מרחב

משפט: יהי $V$ מרחב ווקטורי, $U, W$ תת־מרחבים של $V$ כך ש־ $U$ אינו מוכל ב־ $W$ וגם $W$ אינו מוכל ב־ $U$ . אזי $U \cup W$ . כלומר איחוד של תת־מרחב אינו בהכרח תת־מרחב.

יהי $V$ מ"ו מעל שדה $𝔽, W_{1}, W_{2}$ תת מרחב של $V$ כך ש־ $W_{1}, W_{2} \neq V$ אזי $W_{1} \cup W_{2} \neq V$ . יהי $w_{1}, w_{2} \in V$ אזי אם:

אם $w_{1} = w_{2}$ או $w_{1} \subset w_{2}$ או $w_{2} \subset w_{1}$ אזי $W_{1} = W_{2} \neq V$ או $w_{1} \subset w_{2} \neq V$ או $w_{2} \subset w_{1} \neq V$
אם $W_{1}, W_{2}$ קבוצות זרות אזי מתקיים $w_{1} \in W_{1} ∖ W_{2}, w_{2} \in W_{2} ∖ W_{1}$ .

נניח בשלילה כי

w_{1} + w_{2} \in W_{1}

אז על פי סגירות לחיבור מתקיים:

w_{1} + w_{2} \in W_{1} \Rightarrow (w_{1} + w_{2}) - w_{1} = w_{2} \in W_{1}

בסתירה לכך ש־

w_{1} \in W_{1} ∖ W_{2}

על כן,

w_{1} + w_{2} \subseteq W_{1} \cup W_{2}

ולכן

W_{1} \cup W_{2}

אינו תת מרחב.

דוגמא נגדית: $V = ℝ^{2}, U_{1} = span {e_{1}}, U_{2} = span {e_{2}}$ אז האיחוד $U_{1} \cup U_{2}$ אינו סגור לחיבור כיוון ש־ $e_{1} + e_{2} \notin U_{1} \cup U_{2}$ .