יהיה B , D {\displaystyle B,D} בסיסים של R {\displaystyle R} , ותהיה העתקה לינארית, T : R 2 → R 2 {\displaystyle T:R^{2}\to R^{2}} כך ש- [ T ] D B = [ 6 − 9 − 9 12 ] {\displaystyle [T]_{D}^{B}={\begin{bmatrix}6&-9\\-9&12\end{bmatrix}}} . כמו גם נתון [ T ] C B = [ 2 4 3 − 5 ] {\displaystyle [T]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}2&4\\3&-5\end{bmatrix}}} כאשר C = [ 2 3 ] , [ 1 5 ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}} בסיס של R 2 {\displaystyle R^{2}} . מצא את D {\displaystyle D} .
פתרון: ידוע כי [ T ( v ) ] C = [ T ] c b ∗ [ v ] b {\displaystyle [T(v)]_{C}=[T]_{c}^{b}*{\color {red}[v]_{b}}}
נמצא את ווקטורי [ v ] b {\displaystyle [v]_{b}} לפי בסיס C = [ 2 3 ] , [ 1 5 ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}} :
נתון כי [ T ] C B = [ 2 4 3 − 5 ] {\displaystyle [T]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}2&4\\3&-5\end{bmatrix}}} כלומר
[ T ( v 1 ) ] C B = [ 2 3 ] {\displaystyle [T(v_{1})]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}} ו- [ T ( v 2 ) ] C B = [ 4 − 5 ] {\displaystyle [T(v_{2})]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}4\\-5\end{bmatrix}}}
נמצא את t ( v 1 ) {\displaystyle t(v_{1})} :
T ( v 1 ) = 2 ∗ [ 2 3 ] + 3 ∗ [ 1 5 ] = [ 4 6 ] + [ 3 15 ] = [ 7 21 ] {\displaystyle T(v_{1})=2*{\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}+3*{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3\\15\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7\\21\end{bmatrix}}}
T ( v 2 ) = 4 ∗ [ 2 3 ] − 5 ∗ [ 1 5 ] = [ 8 12 ] − [ − 5 − 25 ] = [ 3 13 ] {\displaystyle T(v_{2})=4*{\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}-5*{\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\12\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-5\\-25\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\13\end{bmatrix}}}
נמצא את ווקטורי [ v ] b {\displaystyle [v]_{b}} לפי בסיס D {\displaystyle D} :
נתון: [ T ] D B = [ 6 − 9 − 9 12 ] {\displaystyle [T]_{D}^{B}={\begin{bmatrix}6&-9\\-9&12\end{bmatrix}}}
[ T ( v 1 ) ] = [ 6 − 9 ] {\displaystyle [T(v_{1})]={\begin{bmatrix}6\\-9\end{bmatrix}}}
[ T ( v 1 ) ] = [ − 9 12 ] {\displaystyle [T(v_{1})]={\begin{bmatrix}-9\\12\end{bmatrix}}}
נבטא את D = w 1 , w 2 {\displaystyle D={w_{1},w_{2}}} על כן מתקיים ש- t ( v ) {\displaystyle t(v)} :
t ( v 1 ) = 6 w 1 − 9 w 2 = [ 7 21 ] {\displaystyle t(v_{1})=6w_{1}-9w_{2}={\begin{bmatrix}7\\21\end{bmatrix}}}
t ( v 2 ) = 9 w 1 + 12 w 2 = [ 3 13 ] {\displaystyle t(v_{2})=9w_{1}+12w_{2}={\begin{bmatrix}3\\13\end{bmatrix}}}
נפתור את מערכת המשוואות (ניתן לפרק את w 1 = [ a b ] {\displaystyle w_{1}={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}