משפט 1: קיומה של העתקה לינארית יחידה
יהיו מרחבים וקטוריים מעל ו־ בסיס ו־ .
אזי קיימת העתקה לינארית יחידה עבורה
הוכחה:
- (קיום)
יהי . אזי קיימים עבורם .
נגדיר העתקה:
נוכיח כי T היא ה"ל:
- סגירות לחיבור: יהיו
. אזי קיים צירוף לינארי של הבסיס
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}\\\mathbf {u} =b_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +b_{n}\mathbf {v} _{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e26a1762191da0be0c25d4861096b864387a35)
- אזי מתקיים על פי סגירות לחיבור במ"ו:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v+u} &=(a_{1}+b_{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(a_{n}+b_{n})\mathbf {v} _{n}\\T(\mathbf {u+v} )&=(a_{1}+b_{1})\mathbf {w} _{1}+\cdots +(a_{n}+b_{n})\mathbf {w} _{n}\\&=(a_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {w} _{n})+(b_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +b_{n}\mathbf {w} _{n})\\&=T(\mathbf {v} )+T(\mathbf {u} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046a1d26653be336f446b05e15c3f32bdc2b382f)
- סגירות לכפל:
– בדיקה של האכסיומה השניה בדומה.
- (יחידות)
אם אזי ו־ .
מכאן:
נניח בשלילה כי קיימת העתקה לינארית נוספת המקיימת . יהי .
אזי קיימים עבורם
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}\\S(\mathbf {v} )&=S(a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n})\\&=a_{1}S(\mathbf {v} _{1})+\cdots +a_{n}S(\mathbf {v} _{n})\\&=a_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {w} _{n}\\&=T(\mathbf {v} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70cb0559b353ee9cda97fa32f91a1f02a32b5e01)
|