אלגברה לינארית/העתקה לינארית יחידה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש



משפט 1: קיומה של העתקה לינארית יחידה

יהיו מרחבים וקטוריים מעל ו־ בסיס ו־.

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה עבורה


הוכחה:

(קיום)

יהי . אזי קיימים עבורם .

נגדיר העתקה:

נוכיח כי T היא ה"ל:

  • סגירות לחיבור: יהיו . אזי קיים צירוף לינארי של הבסיס
אזי מתקיים על פי סגירות לחיבור במ"ו:
  • סגירות לכפל: – בדיקה של האכסיומה השניה בדומה.
(יחידות)

אם אזי ו־.

מכאן:

נניח בשלילה כי קיימת העתקה לינארית נוספת המקיימת . יהי .

אזי קיימים עבורם


מש"ל.PNG


העתקה מטריצית יחידה[עריכה]

משפט 2: העתקה מטריצה יחידה

יהי שדה, ו- העתקה ליניארית. אז קיימת מטריצה בגודל כך ש .

כאשר לכל .


הוכחה: נסמן לכל . נגדיר להיות מטריצה כך שהעמודה ה- של היא אז . לפיכך, הן ה"ל מ- ל- שמעבירות אל לכל לכן לפי המשפט .

מש"ל.PNG



משפט תלות[עריכה]

משפט 1: אם ווקטורי התחום תלוים לינארית אזי גם העתקה

תהי העתקה לינארית. אם ת.ל אזי ת.ל.