אלגברה לינארית/פתרונות של מטריצה מדורגת

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

אין פתרון למטריצה[עריכה]

בדומה לפתרון מערכת משוואות לינאריות כאשר קיימת שורת אפסים וערך ה- שלה

כלומר קיימת מערכת משוואות מהתצורה,

פתרון לא טריוויאלי (אינסוף פתרונות)[עריכה]

דוגמה 1: קבוצת הפתרונות היא אינסופית

תהי המטריצה אזי מערכת הפתרונות של המערכת תהיה:

נבודד את הנעלמים:

נסמן

מכאן קבוצת הפתרונות של המערכת הינם: כאשר


לפחות פתרון יחיד[עריכה]

כאשר שני התנאים לעיל אינם מתקיימים וגם:

פתרון יחיד[עריכה]

טענה 1: תהי אז לכל (וקטור עם עמודה של קורדינטות), למערכת משוואות קיים פתרון יחיד אם ורק אם הפיכה

הרעיון מאחורי ההוכחה הוא שאם קיים למערכת הפתרונות פתרון כאשר אזי קיים הפכי. באופן מקביל למטריצה תהיה קיימת מטריצה הפיכה אם ורק אם יש פתרון יחיד למערכת. אם המטריצה אינה הפיכה אז או שאין פתרון או שיש אינסוף פתרונות.

הפיכה אזי לכל ל- יש פתרון יחיד:

קיימת מטריצה הפוכה ל-, אז מתקיים ש-

לכן הוקטור הינו פתרון של המערכת מפני שמתקיים :


לכל ל- יש פתרון יחיד אז הפיכה :

נניח בשלילה כי אינה הפיכה, ונגיע לסתירה:

נסמן ב- מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ- ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות.

אינה הפיכה לכן ובפרט השורה האחרונה של היא שורת אפסים.

נדרג את המטריצה המורחבת ונקבל מטריצה חדשה

כך שמערכת המשוואות הפכה מ- ל-. נראה שאם השורה האחרונה ב- שורה מאפס אין פתרונות וישנה סתירה בנתונים:

למטריצה המתקבלת מ- ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות קיימת מטריצה הפיכה כך ש.

קיימת מטריצה שהפוכה ל .

נבחר (וקטור שאנו בחרנו ב- כדי להוכיח שיש סתירה),

לפי הנתון, לכל קיים פתרון במערכת המשוואות ולכן קיים כך ש-.

נכפול את שני הצדדים במטריצה כך שנקבל

מאחר שקיימת מטריצה הפוכה

בסתירה לכך של- יש שורת אפסים.



דוגמה 1: אם מספר השורות שווה למספר העמודות, קיים פתרון יחיד (כמות הנעלמים שווה לכמות המשוואות)


פתרון טריוויאלי (אפס)[עריכה]

(מע' משוואות הומוגנית) - כאשר וגם כלומר המטריצה שקולה למטריצת היחידה ()

יותר פתרון יחיד[עריכה]

אם מספר השורות גדול ממספר העמודות, קיים לפחות פתרון יחיד, כלומר כמות המשוואות גדולה מכמות הנעלמים.

אין פתרון[עריכה]

אם מספר השורות קטן ממספר העמודות יתכן וקיים פתרון טריוואלי למערכת או שלא יהיה פתרון לה.