אלגברה לינארית/פתרונות של מטריצה מדורגת

אין פתרון למטריצה

בדומה לפתרון מערכת משוואות לינאריות כאשר קיימת שורת אפסים וערך ה-$b$ שלה $b\neq 0$

${\begin{pmatrix}1&0\left|\right|4\\0&0\left|\right|1\end{pmatrix}}$ כלומר קיימת מערכת משוואות מהתצורה, $0*x_{12}+0*x_{22}=1$

פתרון לא טריוויאלי (אינסוף פתרונות)

דוגמה 1: קבוצת הפתרונות היא אינסופית תהי המטריצה $\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\\end{array}}\right]$ אזי מערכת הפתרונות של המערכת תהיה: ${\begin{cases}x_{1}-2x_{3}=-3\\x_{2}+x_{3}=4\\\end{cases}}$ נבודד את הנעלמים: ${\begin{cases}x_{1}=-3+2x_{3}\\x_{2}=4-x_{3}\\\end{cases}}$ נסמן $x_{3}=t$ ${\begin{cases}x_{1}=-3+2t\\x_{2}=4-t\\\end{cases}}$ מכאן קבוצת הפתרונות של המערכת הינם: $\left[{\begin{array}{ccc|c}2\\-1\\1\end{array}}\right]t+\left[{\begin{array}{ccc|c}-3\\4\\0\end{array}}\right]$ כאשר $t\in \mathbb {R}$

לפחות פתרון יחיד

כאשר שני התנאים לעיל אינם מתקיימים וגם:

פתרון יחיד

טענה 1: תהי $A\in M_{nxn}$ אז לכל $y\in \mathbb {R} ^{n}$ (וקטור עם עמודה של $n$ קורדינטות), למערכת משוואות $Ax=y$ קיים פתרון יחיד אם ורק אם $A$ הפיכה הרעיון מאחורי ההוכחה הוא שאם קיים למערכת הפתרונות $Ax=b$ פתרון כאשר $a\neq 0$ אזי קיים ${\frac {1}{a}}$ הפכי. באופן מקביל למטריצה תהיה קיימת מטריצה הפיכה אם ורק אם יש פתרון יחיד למערכת. אם המטריצה אינה הפיכה אז או שאין פתרון או שיש אינסוף פתרונות. $A$ הפיכה אזי לכל $y\in \mathbb {R} ^{n}$ ל-$Ax=y$ יש פתרון יחיד: קיימת מטריצה $B$ הפוכה ל-$A$, אז מתקיים ש-$\left(AB\right)=\left(AB\right)=I_{n}$ לכן הוקטור $x=By$ הינו פתרון של המערכת $Ax=y$ מפני שמתקיים : $A\left(By\right)=\left(AB\right)y=I_{n}\cdot y=y$ לכל $y\in \mathbb {R} ^{n}$ ל-$Ax=y$ יש פתרון יחיד אז $A$ הפיכה : נניח בשלילה כי $A$ אינה הפיכה, ונגיע לסתירה: נסמן ב-$R$ מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ-$A$ ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות. $A$ אינה הפיכה לכן $R\neq I_{n}$ ובפרט השורה האחרונה של $R$ היא שורת אפסים. נדרג את המטריצה המורחבת $\left[A\mid y\right]$ ונקבל מטריצה חדשה $\left[R\mid z\right]$ כך שמערכת המשוואות הפכה מ-$Ax=y$ ל-$Rx=z$. נראה שאם השורה האחרונה ב-$z$ שורה מאפס אין פתרונות וישנה סתירה בנתונים: למטריצה $R$ המתקבלת מ-$A$ ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות קיימת מטריצה הפיכה ${\text{P}}$ כך ש$R=PA$. קיימת מטריצה $Q$ שהפוכה ל $P$. נבחר $y=Qe_{n}$ (וקטור שאנו בחרנו ב-$\mathbb {R} ^{n}$ כדי להוכיח שיש סתירה), לפי הנתון, לכל $y$ קיים פתרון במערכת המשוואות $Ax=y$ ולכן קיים $x\in \mathbb {R} ^{n}$ כך ש-$Ax=y=Qe_{n}$. נכפול את שני הצדדים במטריצה $P$ כך שנקבל $PAx=PQe_{n}$ מאחר שקיימת מטריצה הפוכה $Rx=PAx=(PQ)e_{n}=I_{n}e_{n}=e_{n}$ בסתירה לכך של-$R$ יש שורת אפסים.

דוגמה 1: אם מספר השורות שווה למספר העמודות, $m=n$ קיים פתרון יחיד (כמות הנעלמים שווה לכמות המשוואות) $\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-1/3\\0&1&0&1/3\\0&0&1&2/3\end{array}}\right]$

פתרון טריוויאלי (אפס)

(מע' משוואות הומוגנית) - כאשר $Ax=0$ וגם $A_{nXn}$ כלומר המטריצה שקולה למטריצת היחידה ($I_{n}$) $\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right]$

יותר מפתרון יחיד

אם מספר השורות גדול ממספר העמודות, $m>n$ קיים לפחות פתרון יחיד, כלומר כמות המשוואות גדולה מכמות הנעלמים.

אין פתרון

אם מספר השורות קטן ממספר העמודות $m<n$ יתכן וקיים פתרון טריוואלי למערכת או שלא יהיה פתרון לה.