אלגברה לינארית/קבוצת הפתרונות הפורשים מטריצה הם קבוצת העמודות של המטריצה

בפרק זה נחזור על טענה שהופיע במרחב העמודות, השורות והאפס, נפשט אותה ונדגימה:

טענה 5: יהי $V=\mathbb {F} ^{n}$ ו-$S=\left\{v_{1},..,v_{k}\right\}$ תת קבוצה של $\mathbb {F} ^{n}$. נרשום את העמודות באמצעות קבוצת הווקטורים $v_{1},..,v_{k}$ נייצר מטריצה בגודל $n\times k$ כך שנקבל $A={\begin{bmatrix}v_{1}&\dots &v_{k}\end{bmatrix}}$ אז ${\text{span}}S=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}|Ax=v,x\in \mathbb {F} ^{k}\right\}$ הכלה מכיוון א': נניח כי למערכת $Ax=v$ קיים פתרון. נסמנו ב- $x={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}$. נבצע הצבה: $A{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}=v$ אז $v=A{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}=c_{1}v_{1}+...+c_{k}v_{k}\in {\text{span}}S$ הכלה מכיוון ב': נניח כי $v\in {\text{span}}S$ אז קיימים $c_{1},..,c_{k}\in \mathbb {F}$ כך ש-$v=c_{1}v_{1}+...+c_{k}v_{k}$ כלומר $A{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}=v$ ולכן ${\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}$ מהווה פתרון של מערכת המשוואות $Ax=v$

דוגמה 1: האם $\left[{\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}}\right]\in span\left\{\left[{\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}2\\2\\2\end{array}}\right]\right\}$? כן, מפני שקיים פתרון למשוואה:$\left[{\begin{array}{cccc}0&2&|&1\\1&2&|&2\\2&2&|&3\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&0&|&1\\0&1&|&{\frac {1}{2}}\\0&0&|&0\end{array}}\right]$ אזי קיים פתרון המערכת $\left\{\left[{\begin{array}{c}1\\{\frac {1}{2}}\\0\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right]t|\ t\in \mathbb {R} \right\}$ לחילופין, ניתן היה לרשום $a\left[{\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{c}2\\2\\2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}}\right]$ כלומר ${\begin{cases}2b=1\\a+b=2\\2a+2b=3\end{cases}}$ נקבל כי $a=1,\ b={\frac {1}{2}}$

דוגמה 2: תהי $A=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&-1\\-2&1&0\\3&-2&1\end{array}}\right]$. מצא מטריצה כך ש-$span(v_{1},v_{2},v_{3})=\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}|Ax=0\right\}$ $v_{1}\in {\text{span}}\left\{v_{2},v_{3}\right\}$ מפני ש-$-2\left[{\begin{array}{c}0\\1\\-2\end{array}}\right]+(-1)\left[{\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\-2\\3\end{array}}\right]$ ואנו רוצים למצוא את קבוצת הפתרונות ששווה לאפס $\left[{\begin{array}{cccc}0&-1&\\1&0&\\-2&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccc}0\\0\\0\end{array}}\right]$ מאחר ש-$Av=v_{1}c_{1}+\dots +c_{n}v_{n}$ נקבל את שתי השוואות : $[x_{1}\ x_{2}\ x_{3}]\left[{\begin{array}{cccc}-1\\0\\1\end{array}}\right]={\begin{cases}-x_{1}+x_{3}=0\\x_{1}=x_{3}\end{cases}}$ וגם $[x_{1}\ x_{2}\ x_{3}]\left[{\begin{array}{cccc}0\\1\\-2\end{array}}\right]={\begin{cases}x_{2}-2x_{3}=0\\x_{2}=2x_{3}\end{cases}}$ על כן נקבל כי המקדמים של הנעלים הינם ${\begin{cases}x_{1}=1\\x_{2}=2x_{3}=2*1=2\\x_{3}=1\end{cases}}$ כלומר $\left[{\begin{array}{cccc}1\\2\\1\end{array}}\right]$