אלגברה לינארית/בסיס להעתקת יוטא

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בפרק זה נדון על מציאת בסיס להעתקת יוטא כלומר העתקה הפועלת על מטריצה מעבר בסיסים ממרחב hom אל מרחב המטריצות. מאחר שיוטא הפיכה חח"ע ועל (יוטא הפיכה)


הגדרה 1: בסיס למטריצה

יהי ו- נגדיר מטריצה מטריצה ונסמן כך שהמקדם בשורה ה והעמודה ה של הינו , ושאר המקדמים הם (מטריצת יחידה). אז אוסף כל המטריצות, מהווה בסיס של


הוכחה: קל להראות בת"ל (מטירצות יחידה) ופורשת

מש"ל.PNG

ולכן .

מסקנה: .

בסיס של [עריכה]

הוא מרחב העתקות.

ציינו כי

נשם לב: הבסיסים של מרחב המטריצות הן מטריצות ואילו ב-Hom הן העתקות! יובהר טוב יותר בהמשך.

נוכל לקחת בסיס במרחב המטריצות ולהסתכל על ההעתקות הלינאריות שמתאימות לאיברים אלו. קבוצת העתקות אלו תהווה בסיס של .

נשאל: איזה העתקה מתאימה למטריצה?

נניח יש לנו את הבסיס: מטריצה .

לדוגמא:

איזו העתקה מתאימה למטריצה זו?

תשובה: יוטא של העתקה לינארית זו שווה למטריצה זו, כלומר על פי הגדרת יוטא, המטריצה של העתקה לינארית ביחס לבסיסים B ו-C תהיה מטריצה זו.

אם אנו יודעים כי .

מה זה אומר?

זה אומר שמטריצה של העתקה לינארית, מוגדרת על פי העמודות (בסיס ), כלומר כאשר מפעילים את העתקה על ווקטורי הבסיס אז המטריצה מגדירה לנו מה היא הפעולה בפועל שיש לבצע על הווקטור:

כלומר אנו מקבלים העתקה לינארית מ- ל- שמתאימה לתמונה הפוכה ביחס ליוטא, היא בדיוק העתקה לינארית שמעבירה:

וכנ"ל לגבי כל העתקה אחרת.ברגע שהגדרנו מה עושה העתקה לוקטורי הבסיס, אנו יודעים כי קיימת רק העתקה אחת שמקיימת זאת.

באופן כללי ( היא חח"ע ועל לכן התמונה ההפוכה הינה איבר אחד בדיוק)

או כך ש אז עבור , אחרת .

כמו כן מהווה בסיס ל-