אלגברה לינארית/בסיס להעתקת יוטא

בפרק זה נדון על מציאת בסיס להעתקת יוטא $\iota _{C}^{B}:\hom \left(V,W\right)\to M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ כלומר העתקה הפועלת על מטריצה מעבר בסיסים ממרחב hom אל מרחב המטריצות. מאחר שיוטא הפיכה חח"ע ועל (יוטא הפיכה) $dimHom=dimM_{mxn}$

הגדרה 1: בסיס למטריצה יהי $1\leq i\leq n$ ו-$1\leq j\leq m$ נגדיר מטריצה מטריצה ונסמן $E_{ij}\in M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ כך שהמקדם בשורה ה $i$ והעמודה ה$j$ של $E_{ij}$ הינו $1$, ושאר המקדמים הם $0$ (מטריצת יחידה). אז אוסף כל המטריצות, $\left\{E_{ij}\mid 1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}$ מהווה בסיס של $M_{n\times m}\left(\mathbb {F} \right))$ הוכחה: קל להראות בת"ל (מטירצות יחידה) ופורשת ולכן $\dim \left(M_{n\times m}\left(\mathbb {F} \right)\right)=mn$. מסקנה: $\dim \hom \left(V,W\right)=mn$.

בסיס של $\hom \left(V,W\right)$

$\iota _{C}^{B}:\hom \left(V,W\right)\to M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)$

$\hom \left(V,W\right)$ הוא מרחב העתקות.

ציינו כי $dimHom=DimM_{nxn}$

נשם לב: הבסיסים של מרחב המטריצות הן מטריצות ואילו ב-Hom הן העתקות! יובהר טוב יותר בהמשך.

נוכל לקחת בסיס במרחב המטריצות ולהסתכל על ההעתקות הלינאריות שמתאימות לאיברים אלו. קבוצת העתקות אלו תהווה בסיס של $Hom$.

נשאל: איזה העתקה מתאימה למטריצה?

נניח יש לנו את הבסיס: מטריצה $E_{ij}$.

לדוגמא: $E_{23}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

איזו העתקה מתאימה למטריצה זו?

תשובה: יוטא של העתקה לינארית זו שווה למטריצה זו, כלומר על פי הגדרת יוטא, המטריצה של העתקה לינארית ביחס לבסיסים B ו-C תהיה מטריצה זו.

אם אנו יודעים כי $\left[T\right]_{C\left(w_{1},w_{2},w_{3}\right)}^{B\left(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right)}=E_{23}={\begin{bmatrix}&v_{1}&v_{2}&v_{3}&v_{4}\\w_{1}&0&0&0&0\\w_{2}&0&0&1&0\\w_{3}&0&0&0&0\end{bmatrix}}$.

מה זה אומר?

זה אומר שמטריצה של העתקה לינארית, מוגדרת על פי העמודות (בסיס $B$), כלומר כאשר מפעילים את העתקה על ווקטורי הבסיס אז המטריצה מגדירה לנו מה היא הפעולה בפועל שיש לבצע על הווקטור:

${\begin{aligned}T\left(v_{1}\right)=0w_{1}+0w_{2}+0w_{3}=0\\T\left(v_{2}\right)=0w_{1}+0w_{2}+0w_{3}=0\\T\left(v_{3}\right)=0w_{1}+1w_{2}+0w_{3}=w_{2}\\T\left(v_{4}\right)=0w_{1}+0w_{2}+0w_{3}=0\end{aligned}}$

כלומר אנו מקבלים העתקה לינארית מ-$V$ ל-$W$ שמתאימה לתמונה הפוכה $E_{ij}$ ביחס ליוטא, היא בדיוק העתקה לינארית שמעבירה:

$T_{23}:={\begin{cases}w_{2}&v=v_{3}\\0&v\neq v_{3}\end{cases}}$ וכנ"ל לגבי כל העתקה אחרת.ברגע שהגדרנו מה עושה העתקה לוקטורי הבסיס, אנו יודעים כי קיימת רק העתקה אחת שמקיימת זאת.

באופן כללי $T_{ij}=\iota ^{-1}\left(E_{ij}\right)$ ( $\iota$ היא חח"ע ועל לכן התמונה ההפוכה הינה איבר אחד בדיוק)

או $T_{ij}:V\to W$ כך ש$\left[T_{ij}\right]_{C}^{B}=E_{ij}$ אז $T_{ij}\left(v_{k}\right)=0$ עבור $k\neq j$, אחרת $T_{ij}\left(v_{j}\right)=w_{i}$.

כמו כן $\left\{T_{ij}\mid 1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}$ מהווה בסיס ל-$Hom(v,w)$