אלגברה לינארית/משפט הממד על העתקות

הגדרה 1: משפט ממד ההעתקות תהי $T:V\to W$ העתקה לינארית, כאשר V נוצר סופית. אזי $$Dim_{F}Im(f)+Dim_{F}Ker(f)=Dim_{F}U\Leftrightarrow {\mbox{rank}}(T)+\nu (T)=\dim(V)$$.

הוכחה בנוסחת ההגדרה הראשונה

נסמן: מ"ו מימד סופי ולכן נסמן $dim(V)=n$.

$ker(V)\in V$ הוא תת מרחב של $V$ ולכן נסמנו $dim(ker(T))=k$

כלומר נקבל $\overbrace {\underbrace {v_{1},v_{2}+\cdots +v_{k}} _{BasisT}+\underbrace {v_{k+1}+\cdots +v_{n}} _{n-k}} ^{BasisV}$

אם נוכיח כי $dim(im(T))=n-k$, כלומר נרצה להוכיח כי הווקטורים $v_{k+1}+\cdots +v_{n}$ הם בסיס של התמונה.

טענה: $v_{k+1}+\cdots +v_{n}$ הם בסיס של התמונה.

פורשים את המרחב

סימנו כי $v_{1}+\cdots +v_{n}$ הוא בסיס של $V$

נסמן את הצירופים הלינארים של כל ווקטורי המרחב $V$: יהיה $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{3}$ כך ש-$v=c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}$

נתונה ההעתקה לינארית $T:V\to W$. נפעיל אותה על ווקטור $v$ כללי שלנו ונייצג כל $w\in W$ נקבל $w=t(v)=T(c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n})$

נוציא את הסקלרים ונקבל $w=t(v)=c_{1}T(v_{1})+\cdots +c_{k}T(V_{k})+c_{k+1}(v_{k+1})+\cdots +c_{n}T(v_{n}))$

ידוע כי $v_{1},\cdots ,v_{k}\in Ker(T)$ ולכן $w=t(v)=c_{1}\underbrace {T(v_{1})} _{0_{w}}+\cdots +c_{k}\underbrace {T(v_{k})} _{0_{w}}+c_{k+1}(v_{k+1})+\cdots +c_{n}T(v_{n}))$

על כן $w=t(v)=c_{k+1}T(v_{k+1})+\cdots +c_{n}T(v_{n}))$ פורשת את כל התמונה.

בת"ל

נוכיח כי $w=c_{k+1}T(v_{k+1}),\cdots ,c_{n}T(v_{n})$ בת"ל כלומר צריך להוכיח כי $c_{k+1}=...=c_{n}=0_{F}$.

כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים $c_{k+1},...,c_{n}$ הצירוף הליניארי של הווקטורים $v_{k+1},...,v_{n}$ מביא לאפס השדה.

לפי הנחה נניח כי: $c_{1}T(v_{k+1})+...+c_{n}(T(v_{n}))=0_{w}$

נוציא את T ונקבל $T(c_{1}(v_{k+1})+...+c_{n}(v_{n})=0_{w}$, ובמילים אחרות, $T(c_{1}(v_{k+1})+...+c_{n}(v_{n})\in ker(T)$

לכן נוכל להשוואות את הווקטורים עם הווקטורים בגרעין, $T(c_{1}(v_{k+1}))+...+c_{n}(v_{n})=c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}$

נעביר אגפים, $T(c_{1}(v_{k+1}))+...+c_{n}(v_{n})-(c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n})=0$

קבלו קומבינציה לינארית של איברי הבסיס $V$ שמתאפסת ולכן, מאחר שווקטורי בסיס הם קבוצה בת"ל, גם צירוף לינארי בת"ל.

הוכחה בנוסחת ההגדרה השנייה

נסמן $n=\dim(V),k=\nu (T)$ . צריך להוכיח ${\mbox{rank}}(T)=n-k$

יהי $A=\{u_{1},\dots ,u_{k}\}$ בסיס ל- ${\mbox{Ker}}(T)$ . אזי A בת"ל ב-V. כיון שכל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס, קיימת קבוצה $B=\{u_{1},\dots ,u_{n}\}$ שהיא בסיס ל-V.

נסמן $C=\{T(u_{k+1}),\dots ,T(u_{n})\}$ . אזי $\#C=n-k$

יהי $\sum _{i=k+1}^{n}\alpha _{i}T(u_{i})={\vec {0}}_{W}$ צירוף לינארי של C, המתאפס.

אזי (כי ה"ל שומרת על צירופים לינאריים): $T(\sum _{i=k+1}^{n}\alpha _{i}u_{i})={\vec {0}}_{W}$

לכן, $\sum _{i=k+1}^{n}\alpha _{i}u_{i}\in {\mbox{Ker}}(T)$.

בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים המקיימים $\sum _{i=1}^{k}\beta _{i}u_{i}=\sum _{i=k+1}^{n}\alpha _{i}u_{i}$ , כלומר, $\sum _{i=1}^{k}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}0u_{i}=\sum _{i=1}^{k}0u_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}\alpha _{i}u_{i}$

בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל $\forall k<i\leq n:\alpha _{i}=0$. לכן, C בת"ל.

יהי $x\in {\mbox{Im}}(T)$. אזי $\exists v\in V:T(v)=x$

בגלל שבסיס פורש, קיימים סקלרים המקיימים $v=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}$

נקבל: $x=T(v)=T(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i})=T(\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}u_{i})+T(\sum _{i=k+1}^{n}\alpha _{i}u_{i})={\vec {0}}_{W}+\sum _{i=k+1}^{n}\alpha _{i}T(u_{i})=\sum _{i=k+1}^{n}\alpha _{i}T(u_{i})\in {\mbox{span}}(C)$.

לכן, C פורשת את ${\mbox{Im}}(T)$ , ומכיון שהיא בת"ל, היא בסיס לה.

לכן, ${\mbox{rank}}(T)=\dim({\mbox{Im}}(T))=\#C=n-k$ . מש"ל