אלגברה לינארית/סוגי העתקות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה 1: העתקת האפס

מ"ו מעל . נגדיר ע"י לכל .

היא העתקה ליניארית שנקראת העתקת אפס.

מסמנים (כלומר )


הוכחה: נוכיח כי העתקת האפס היא העתקה לינארית:

  1. אדיטיביות
  2. הומוגניות


מש"ל.PNG


הגדרה 2: העתקת הזהות ()

מ"ו מעל . העתקה מוגדרת ע"י לכל


הגדרה 3: העתקות הפוכות

העתקות ו נקראות הפוכות זו לזו כאשר:

כלומר לכל .

ו-. כלומר לכל .


הגדרה 4: העתקה חח"ע

יהיו מ.ו מעל שדה . תהי העתקה לינארית. תקרא העתקה ח.ח.ע אם לכל ולכל גורר , או לחילופין גורר .

הגדרה 5: העתקה על

אם לכל התמונה של לפחות אחד.


הגדרה 6: העתקה איזומורפיזם

העתקה ח.ח.ע ועל



משפט 1:

תהי העתקה לינארית חח"ע ועל אזי קיימת העתקה הפוכה


הגדרה 7: העתקה לינארית - מטריצה

ו- מרחב ווקטור של כל הפונקציות מ- לשדה. תהי מטריצה עם מקדמים ב- .

נגדיר ע"י לכל היא ה"ל.

הערה: תהי ויהי . אז קבוצת הפתרונות של היא (כלומר התמונה ההפוכה של דהיינו זוהי תמונה הפוכה של ביחס ל-. ייתכן שתהיה קבוצה ריקה . )


הגדרה 8: העתקה לינארית ממרחב הפונקציות

תהי קבוצה. .

נגדיר ע"י לכל . היא העתקה ליניארית:

הערה: אוסף הפונקציות שמתאפסות באיבר מסויים, ניתן לתאר ע"י תמונה הפוכה:



הגדרה 7: העתקה לינארית של פולינום

יהי . נגדיר ע"י: (נגזרת היא העתקה לינארית) אז היא העתקה ליניארית.

הוכחה:להשלים


הגדרה 7: העתקה לינארית - פונקציה

, ו- . נגדיר ע"י . לכל אז היא ה"ל. (הפונקציות עצמן לא בהכרח ליניאריות)

סוג נוסף של העתקה היא העתקה לינארית יחידה