דרוג גאוס[עריכה]
מטרת הדירוג הוא לייצג כל מטריצה כמטריצה מדורגת על ידי פעולות אלמנטריות שאינן פוגעות במערכת הפתרונות של משוואות המטריצה.
פעולות אלמנטריות[עריכה]
ניתן לבצע שלוש פעולות שורה אלמנטריות על המשוואות מבלי לשנות את פתרונות המערכת:
- החלפת שורות של המשוואות,

- כפל של השורה ה־
בסקלר, 
- הוספה לשורה ה־
את מכפלת השורה ה־
בסקלר, 
משפט 1: כל מטריצה ניתן להביא לתצוגתה של מטריצה מדורגת מצומצמת
הוכחה
|
דוגמא לדרוג[עריכה]
תהינה המשוואות

נייצגן במטריצה:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\1&3&2&2\\3&1&1&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ece4ce316b306757636365dc77d3d51e884684b)
נביא את המטריצה לדירוג: הדירוג יתבצע על ידי זיהוי האבר המוביל בכל טור ואיפוס האברים מעליו.
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-1/3\\0&1&0&1/3\\0&0&1&2/3\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e539bbee92d25a94ecfab50644bd41b9384c41) |
 |
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&0&1/3\\0&1&0&1/3\\0&0&1&2/3\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d18caeb9e18942f1c0089e9f0f4386f15ff14c) |
 |
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&2/3\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97abc8a3eddd0a71501dfea01a42f4afb33783c8) |
 |
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&0&3&2\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2193b621eae67c07adc93b6dacf61e2f85e83da1) |
 |
|
 |
|
- שלב א – האבר המוביל שלנו יהיה האבר הראשון בטבלה הנמצא במיקום
. עלינו לאפס את הטור תחתיו לשם כך:
- נחסר את השורה השלישית שלוש פעמים מהשורה השניה.
- נחסר את השורה השניה מהשורה הראשונה.
![{\displaystyle {\xrightarrow[{R_{2}\to R_{2}-R_{1}}]{R_{3}\to R_{3}-3R_{2}}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&-5&-2&-3\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3358a96b3cfd5e379c381401c754e9d71552d346)
- שלב ב – האבר המוביל שלנו נמצא במיקום המתאים לנו
וערכו 1. נאפס את האבר שנמצא תחתיו על ידי כך שנחבר את השורה השלישית 5 פעמים עם השורה השניה.
![{\displaystyle {\xrightarrow[{}]{R_{3}\to R_{3}+5R_{2}}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&0&3&2\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb44c2089e328ebb4161a6f1734090794ba6e3b)
- שלב ג' – האבר המוביל שלנו יהיה במיקום
. מאחר שערכו 3 נחלק את השורה השלישית ב־3 ונקבל אבר מוביל שערכו 1.
![{\displaystyle {\xrightarrow[{}]{R_{3}\to {\frac {1}{3}}R_{3}}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf4a31b0dc338e59f8dbc95ae8a4e55a3634ddf)
- שלב ד – נאפס את הטור של האבר המוביל בטור השלישי: נחסר את השורה השלישית מהשורה הראשונה והשניה.
![{\displaystyle {\xrightarrow[{R_{2}\to R_{2}-R_{3}}]{R_{1}\to R_{1}-R_{3}}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&0&{\frac {1}{3}}\\0&1&0&{\frac {1}{3}}\\0&0&1&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac6b88e46ed8f4de2233c12af361e7af1868908)
- שלב ה' – הטור של האבר המוביל
אינו מאופס ולכן נחסר את השורה הראשונה מהשורה השניה פעמים.
![{\displaystyle {\xrightarrow[{}]{R_{1}\to R_{1}-2R_{2}}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-{\frac {1}{3}}\\0&1&0&{\frac {1}{3}}\\0&0&1&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1171e4f911ab1d8f34e8ab64e63d6de70e4f70d3)
קישורים חיצוניים[עריכה]
- מחשבון לדירוג מטריצה