אלגברה לינארית/דירוג מטריצה

דרוג גאוס

מטרת הדירוג הוא לייצג כל מטריצה כמטריצה מדורגת על ידי פעולות אלמנטריות שאינן פוגעות במערכת הפתרונות של משוואות המטריצה.

פעולות אלמנטריות

ניתן לבצע שלוש פעולות שורה אלמנטריות על המשוואות מבלי לשנות את פתרונות המערכת:

• החלפת שורות של המשוואות, $R_{i}\leftrightarrow R_{j}$
• כפל של השורה ה־$i$ בסקלר, $R_{i}\to kR_{i}:k\neq 0$
• הוספה לשורה ה־$i$ את מכפלת השורה ה־$j$ בסקלר, $R_{i}\to R_{i}+kR_{j}:k\neq 0$

משפט 1: כל מטריצה ניתן להביא לתצוגתה של מטריצה מדורגת מצומצמת הוכחה

דוגמא לדרוג

תהינה המשוואות

${\begin{aligned}x+2y+z=1&&(L_{1})\\x+3y+2z=2&&(L_{2})\\3x+y+z=0&&(L_{3})\end{aligned}}$

נייצגן במטריצה:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\1&3&2&2\\3&1&1&0\end{array}}\right]$

נביא את המטריצה לדירוג: הדירוג יתבצע על ידי זיהוי האבר המוביל בכל טור ואיפוס האברים מעליו.

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-1/3\\0&1&0&1/3\\0&0&1&2/3\end{array}}\right]$

${\stackrel {R_{1}\rightarrow R_{1}-2R_{2}}{\longrightarrow }}$

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&0&1/3\\0&1&0&1/3\\0&0&1&2/3\end{array}}\right]$

${\stackrel {R_{1}\rightarrow R_{1}-R_{3},\ \ R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{3}}{\longrightarrow }}$

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&2/3\end{array}}\right]$

${\stackrel {R_{3}\rightarrow {\frac {1}{3}}R_{3}}{\longrightarrow }}$

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&0&3&2\end{array}}\right]$

${\stackrel {R_{3}\rightarrow R_{3}+5R_{2}}{\longrightarrow }}$

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&-5&-2&-3\end{array}}\right]$

${\stackrel {R_{3}\rightarrow R_{3}-3R_{2},R_{2}\rightarrow R_{2}-R_{1}}{\longrightarrow }}$

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\1&3&2&2\\3&1&1&0\end{array}}\right]$

• שלב א – האבר המוביל שלנו יהיה האבר הראשון בטבלה הנמצא במיקום $1,1$. עלינו לאפס את הטור תחתיו לשם כך:
• נחסר את השורה השלישית שלוש פעמים מהשורה השניה.
• נחסר את השורה השניה מהשורה הראשונה.

${\xrightarrow[{R_{2}\to R_{2}-R_{1}}]{R_{3}\to R_{3}-3R_{2}}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&-5&-2&-3\end{array}}\right]$

• שלב ב – האבר המוביל שלנו נמצא במיקום המתאים לנו $2,2$ וערכו 1. נאפס את האבר שנמצא תחתיו על ידי כך שנחבר את השורה השלישית 5 פעמים עם השורה השניה.

${\xrightarrow[{}]{R_{3}\to R_{3}+5R_{2}}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&0&3&2\end{array}}\right]$

• שלב ג' – האבר המוביל שלנו יהיה במיקום $3,3$. מאחר שערכו 3 נחלק את השורה השלישית ב־3 ונקבל אבר מוביל שערכו 1.

${\xrightarrow[{}]{R_{3}\to {\frac {1}{3}}R_{3}}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]$

• שלב ד – נאפס את הטור של האבר המוביל בטור השלישי: נחסר את השורה השלישית מהשורה הראשונה והשניה.

${\xrightarrow[{R_{2}\to R_{2}-R_{3}}]{R_{1}\to R_{1}-R_{3}}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&0&{\frac {1}{3}}\\0&1&0&{\frac {1}{3}}\\0&0&1&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]$

• שלב ה' – הטור של האבר המוביל $2,2$ אינו מאופס ולכן נחסר את השורה הראשונה מהשורה השניה פעמים.

${\xrightarrow[{}]{R_{1}\to R_{1}-2R_{2}}}\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-{\frac {1}{3}}\\0&1&0&{\frac {1}{3}}\\0&0&1&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]$

קישורים חיצוניים

1. מחשבון לדירוג מטריצה