אלגברה לינארית/מטריצות מעבר בסיסים דומות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש


בלון!

בפרק זה נעסוק בכך שמטריצות מעברי הבסיסים ו דומות זו לזו.

על כן מומלץ לרענן תחילה את הנושא: מטריצות דומות.


הגדרה 1 שם=העתקה הפיכה:

תהי אז הפיכה () כלומר מתקיימת העתקה לינארית ומתקיים שהמטריצה ההופכית של העתקה שווה למטריצה המצייגת העתקה הפכית

מטריצות הפוכות זו לזו מקיימות


טענה 1 שם=מטריצה Id של מעבר בסיסים דומות:

מטריצות מייצגות של אותה העתקה בבסיסים שונים (מטריצות דומות): זוג מטריצות ריבועיות, תקראנה דומות אם קיימת מטריצה הפיכה, , המקיימת

יהי B בסיס למרחב ווקטורי ותהי P מטריצה הפיכה אזי קיים בסיס C כך שמטריצת המעבר מ-B ל-C היא P.

הפיכה ל-

את טענה זו נוכיח על ידי הוכחה כי ו דומות

ו דומות[עריכה]

למה 1 "יהי מ"ו מעל ו בסיס של . ו הפיכה. אז קיים בסיס של כך שקיימת מטריצה מעבר "

נתון .

נגדיר צ"ל של וקטור בבסיס .

צ"ל כי בסיס של .

נסמן את המטרציה ההפיכה ונסמן

יהי , כך ש- נראה ש לכן לכל .

לפיכך . מאחר ו אז בת"ל. כלומר בסיס של וגם .


טענה 1: מטריצות מעברי הבסיסים ו דומות זו לזו

יהי מ"ו מעל , בסיס של . ה"ל ונתונות מטריצות דומות זו לזו כך ש.

אז קיים בסיס של כך ש


הוכחה: מאחר ש דומות קיימת מטריצה הפיכה כך ש:

לפי הלמה קיים בסיס של כך ש אז

מש"ל.PNG