בלון!
על כן מומלץ לרענן תחילה את הנושא: מטריצות דומות.
הגדרה 1 שם=העתקה הפיכה:
תהי T : V → V {\displaystyle T:V\to V} אז T {\displaystyle T} הפיכה ( [ T − 1 ] B {\displaystyle [T^{-1}]_{B}} ) כלומר מתקיימת העתקה לינארית V → T V → T − 1 V {\displaystyle V{\xrightarrow {T}}V{\xrightarrow {T^{-1}}}V} ומתקיים שהמטריצה ההופכית של העתקה שווה למטריצה המצייגת העתקה הפכית [ T ] B − 1 = [ T − 1 ] B {\displaystyle [T]_{B}^{-1}=[T^{-1}]_{B}}
מטריצות הפוכות זו לזו מקיימות [ T ] B − 1 ∗ [ T ] B = I n {\displaystyle [T]_{B}^{-1}*[T]_{B}=I_{n}}
טענה 1 שם=מטריצה Id של מעבר בסיסים דומות:
מטריצות מייצגות של אותה העתקה בבסיסים שונים (מטריצות דומות): זוג מטריצות ריבועיות, C , D {\displaystyle C,D} תקראנה דומות אם קיימת מטריצה הפיכה, P {\displaystyle P} , המקיימת C = P − 1 ∗ D ∗ P {\displaystyle C=P^{-1}*D*P}
יהי B בסיס למרחב ווקטורי ותהי P מטריצה הפיכה אזי קיים בסיס C כך שמטריצת המעבר מ-B ל-C היא P.
[ I d v ] b c {\displaystyle [Idv]_{b}^{c}} הפיכה ל- [ I d v ] c b {\displaystyle [Idv]_{c}^{b}}
את טענה זו נוכיח על ידי הוכחה כי [ T ] B B {\displaystyle \left[T\right]_{B}^{B}} ו [ T ] C C {\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}} דומות
למה 1 "יהי V {\displaystyle V} מ"ו מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } ו B = ( v 1 , . . , v n ) {\displaystyle B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)} בסיס של V {\displaystyle V} . ו P ∈ M n × n ( F ) {\displaystyle P\in M_{n\times n}\left(\mathbb {F} \right)} הפיכה. אז קיים בסיס C {\displaystyle C} של V {\displaystyle V} כך שקיימת מטריצה מעבר [ I d ] B C = p {\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{C}=p} "
נתון P = ( p 11 p 1 n ⋮ ⋮ p n 1 p n n ) {\displaystyle P={\begin{pmatrix}p_{11}&&p_{1n}\\\vdots &&\vdots \\p_{n1}&&p_{nn}\end{pmatrix}}} .
נגדיר צ"ל של וקטור בבסיס B : w j = p 1 j v 1 + . . . + p n j v n = ∑ j = 1 n p i j v j {\displaystyle B:w_{j}=p_{1j}v_{1}+...+p_{nj}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}v_{j}} .
צ"ל כי w j = ( w 1 , . . , w n ) {\displaystyle w_{j}=\left(w_{1},..,w_{n}\right)} בסיס של V {\displaystyle V} .
נסמן את המטרציה ההפיכה Q = P − 1 {\displaystyle Q=P^{-1}} ונסמן Q = ( q 11 q 1 n ⋮ ⋮ q n 1 q n n ) {\displaystyle Q={\begin{pmatrix}q_{11}&&q_{1n}\\\vdots &&\vdots \\q_{n1}&&q_{nn}\end{pmatrix}}}
יהי 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq k\leq n} , כך ש- q i ∈ Q {\displaystyle q_{i}\in Q} נראה ש q 1 k w 1 + . . . + q n k w n = ∑ j = 1 n q j k w j = ∑ j = 1 n q j k ∑ i = 1 n p i j v i = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n p i j ⋅ q j k ⋅ v i = ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 n p i j ⋅ q j k ) ⋅ v i = 0 ⋅ v 1 + . . . + 1 ⋅ v k + . . . + 0 v n = v k {\displaystyle q_{1k}w_{1}+...+q_{nk}w_{n}=\sum _{j=1}^{n}q_{jk}w_{j}=\sum _{j=1}^{n}q_{jk}\sum _{i=1}^{n}p_{ij}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}p_{ij}\cdot q_{jk}\cdot v_{i}=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}p_{ij}\cdot q_{jk}\right)\cdot v_{i}=0\cdot v_{1}+...+1\cdot v_{k}+...+0v_{n}=v_{k}} לכן v k ∈ T s p a n ( w 1 , . . , w n ) {\displaystyle v_{k}\in Tspan\left(w_{1},..,w_{n}\right)} לכל 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq k\leq n} .
לפיכך s p a n ( w 1 , . . , w n ) = V {\displaystyle span\left(w_{1},..,w_{n}\right)=V} . מאחר ו dim V = n {\displaystyle \dim V=n} אז ( w 1 , . . , w n ) {\displaystyle \left(w_{1},..,w_{n}\right)} בת"ל. כלומר C = ( w 1 , . . , w n ) {\displaystyle C=\left(w_{1},..,w_{n}\right)} בסיס של V {\displaystyle V} וגם [ I d ] B C {\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{C}} .
טענה 1: מטריצות מעברי הבסיסים [ T ] B B {\displaystyle \left[T\right]_{B}^{B}} ו [ T ] C C {\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}} דומות זו לזו
יהי V {\displaystyle V} מ"ו מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } , B = ( v 1 , . . , v n ) {\displaystyle B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)} בסיס של V {\displaystyle V} . T : V → V {\displaystyle T:V\to V} ה"ל ונתונות K , L ∈ M n × n ( F ) {\displaystyle K,L\in M_{n\times n}\left(\mathbb {F} \right)} מטריצות דומות זו לזו כך ש K = [ T ] B B {\displaystyle K=\left[T\right]_{B}^{B}} .
אז קיים בסיס C {\displaystyle C} של V {\displaystyle V} כך ש [ T ] C C = L {\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}=L}
הוכחה: מאחר ש K , L {\displaystyle K,L} דומות קיימת מטריצה P ∈ M n × n ( F ) {\displaystyle P\in M_{n\times n}\left(\mathbb {F} \right)} הפיכה כך ש: L = P − 1 ⋅ K ⋅ P = P − 1 ⋅ [ T ] B B ⋅ P {\displaystyle L=P^{-1}\cdot K\cdot P=P^{-1}\cdot \left[T\right]_{B}^{B}\cdot P}
לפי הלמה קיים בסיס C {\displaystyle C} של V {\displaystyle V} כך ש [ I d ] B C = P {\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{C}=P} אז L = ( [ I d ] B C ) − 1 ⋅ [ T ] B B ⋅ [ I d ] B C = [ T ] C C {\displaystyle L=\left(\left[Id\right]_{B}^{C}\right)^{-1}\cdot \left[T\right]_{B}^{B}\cdot \left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}}
מ"ו מעל 
ו
בסיס של . ו 
הפיכה. אז קיים בסיס 
של כך שקיימת מטריצה מעבר ![{\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{C}=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b794b6afd5a991359066cbedcd3eebf642bd102)
"
.
.
בסיס של .
ונסמן 
, כך ש-
נראה ש 
לכן 
לכל .
. מאחר ו
אז 
בת"ל. כלומר 
בסיס של וגם ![{\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b3b3df9203ed04f1293bc130eaf7dee56ade0f)
.
![{\displaystyle \left[T\right]_{B}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b62dfc0072c5ab1f1bd377a8677d11793f0721)
![{\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e656544c1cf197bcddbdc17cf15ba78f664cd79)
![{\displaystyle [T^{-1}]_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38eb93bf1d133650bb4f8cceb84e57b0527e813)
![{\displaystyle [T]_{B}^{-1}=[T^{-1}]_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee340a74f6c049b2b5aaa6dca767259289fdaf4f)
![{\displaystyle [T]_{B}^{-1}*[T]_{B}=I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14d35e7c412944536dd834be2ceb9d9fb876806)
![{\displaystyle [Idv]_{b}^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc88d8fced038f5dc0ddf50816feb67c9f9e5153)
![{\displaystyle [Idv]_{c}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533fda8a5286ea6b20dd2fa4b01f4978f84f5f4c)
![{\displaystyle K=\left[T\right]_{B}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ecc56f586a0b811d28e9bc423e8dc505d85a0e3)
![{\displaystyle \left[T\right]_{C}^{C}=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd11b7c5db44916e7de097fe1a78534cabcdd2c9)
![{\displaystyle L=P^{-1}\cdot K\cdot P=P^{-1}\cdot \left[T\right]_{B}^{B}\cdot P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe7e693020c77591ff04a06da62c0718375d1ce)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{C}=P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70618dac31cce66ecd1f65e3dbe2867f7d112f1b)
![{\displaystyle L=\left(\left[Id\right]_{B}^{C}\right)^{-1}\cdot \left[T\right]_{B}^{B}\cdot \left[Id\right]_{B}^{C}=\left[T\right]_{C}^{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584b04e9ef4108ebe0755a5e0297b4aa76146e7a)
