אלגברה לינארית/העתקה דואלית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה 1: העתקה במרחב הדואלי

יהיו מ"ו מעל , ו- ה"ל.

יהי (כלומר שייך למרחב הדואלי), כלומר הוא פונקציונל ליניארי אז ההרכבה הוא פונקציונל ליניארי על .

במילים אחרות,


הגדרה 2: העתקה דואלית ( או )

העתקה ע"י לכל . במילים אחרות, לכל מתקיים .

או נקראת ההעתקה הדואלית ל.




משפט 1: היא ה"ל

יהיו . לכל מתקיים:

  • חיבור:
  • כפל באופן דומה נגדיר יהי ו-


טענה 1:

יהיו מ"ו מעל ו ה"ל. ו ההעתקה הדואלית אז .

הוכחה: יהי ונוכיח כי אמ"מ .

אמ"מ אמ"מ לכל מתקיים אמ"מ אמ"מ לכל מתקיים

אמ"מ .

מש"ל.PNG


טענה 2: יהיו מ"ו ויהי . הוכיחו כי T על אם"ם חח"ע

Tתהיה על אם”ם אם”ם אם”ם (על פי אם”ם חח”ע


טענה 2:

אנחנו הולכים להוכיח כי כאשר משחלפים כל אחד מהמטריצות טרם העתקה מקבלים בדיוק את אותה העתקה אם מבצעים העתקה של המטריצה ולאחר מכן מבצעים שחלוף:

טענה:

יהיו מ"ו מעל נוצרים סופית, בסיסים של בהתאמה.

ו- בסיסים של , דואליים ל ה"ל.

אז .


הוכחה: נסמן ו

ו.

העמודה ה של המטריצה היא .

נסמן (כי )

מטענה קודמת נקבל ונסמנו כ-#

נסמן את אז

נחשב את :

נציב לנוסחא # ונקבל:

לכן .

כלומר, העמודה ה של היא העמודה ה של המטריצה .

ולכן



מש"ל.PNG