אלגברה לינארית/משפט ההחלפה של שטייניץ

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט ההחלפה של שטייניץ[עריכה]

תהי בת"ל, תהי קבוצה פורשת סופית ל־, ויהי .

אזי קיים עבורו בת"ל.

הוכחה[עריכה]

נסדר את אברי כך ש־ יהיה האחרון. נסמן .

מכיון ש־ פורשת, קיימים מקדמים שעבורם .

אם כל אברי הם צירופים לינאריים של אברי אזי קיימים מקדמים שעבורם

ולכן , בסתירה לכך ש־ בת"ל.

לכן קיים שאינו צ"ל של . לכן ברור כי , כלומר .

מהיות בת"ל כל אחד מאברי אינו צ"ל של קודמיו.

אינו צ"ל של , כל אחד מאברי אינו צ"ל של קודמיו, ולכן בת"ל.

הקשר בין הגדלים[עריכה]

משפט 1: יהי בת"ל ו־ פורשת סופית. אזי .

נסמן את . נניח בשלילה שקיימת , אזי בת"ל.

לפי משפט ההחלפה (אם נפעיל אותו על כל אברי C) נקבל שקיימת בת"ל כאשר .

אבל לא קיימים אברים ב־, ולכן לא קיימת שעבורה , בסתירה.