משפט ההחלפה של שטייניץ
[עריכה]
תהי
בת"ל, תהי
קבוצה פורשת סופית ל־
, ויהי
.
אזי קיים
עבורו
בת"ל.
נסדר את אברי
כך ש־
יהיה האחרון. נסמן
.
מכיון ש־
פורשת, קיימים מקדמים שעבורם
.
אם כל אברי
הם צירופים לינאריים של אברי
אזי קיימים מקדמים שעבורם
ולכן
, בסתירה לכך ש־
בת"ל.
לכן קיים
שאינו צ"ל של
. לכן ברור כי
, כלומר
.
מהיות
בת"ל כל אחד מאברי
אינו צ"ל של קודמיו.
אינו צ"ל של
, כל אחד מאברי
אינו צ"ל של קודמיו, ולכן
בת"ל.
משפט 1: יהי בת"ל ו־ פורשת סופית. אזי .
נסמן את . נניח בשלילה שקיימת , אזי בת"ל.
לפי משפט ההחלפה (אם נפעיל אותו על כל אברי C) נקבל שקיימת בת"ל כאשר .
אבל לא קיימים אברים ב־ , ולכן לא קיימת שעבורה , בסתירה.
|