אלגברה לינארית/העתקות יוטא

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה 1: יוטא: העתקה לינארית

העתקת יואט היא ההעתקה ממרחב ווקטורי של כל העתקות מ- ל- אל מרחב המטריצות כאשר המקדמים מהשדה כך שהעתקה מוגדרת להיות העתקה המבצעת .

למה מוגדרת ? מצד אחד יוטא היא מעבר בסיסים ומצד שני התוצר שלה הוא מטריצה והראנו כי היא העתקה שיכולה להיות מבוטאת על ידי מטריצה!


טענה 1: לכל העתקה לינארית מ- ל- ניתן להתאים מטריצה מיצגת ביחס לבסיס כלומר לכל איבר שנמצא ב-Homיש מטריצה, העתקה מקב' , אוסף העקות לקב' מטריצות והעתקת יוטה היא ה"ל הפיכה.

יהי מ"ו נוצרים סופית מעל , , ו בסיסים של בהתאמה.

נגדיר ע"י או לחילופין .

אז היא העתקה ליניארית, כלומר לכל אז

וגם לכל ולכל אז .


הוכחה: נסמן ו אז:

העמודה ה של היא (ההצגה של בבסיס , כאשר וקטור בבסיס הסדור )

העמודה ה של היא

מכאן העמודה ה של היא כלומר קיבלנו את העמודה ה -j של

. בדומה מוכיחים עבור כפל בסקלר.

מש"ל.PNG

על כן היא ה"ל הפיכה.