אלגברה לינארית/וקטור ביחס לבסיס

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הרעיון מאחור ווקטור ביחס לבסיס הוא שבהינתן בסיס סדור ניתן לייצג את הוקטור מהמרחב הווקטורי על "מערכת הצירים". כאשר מערכת הצירים מסודרת על פי וקטורי הבסיס.


הגדרה 1: וקטור ביחס בסיס

יהי מ"ו מעל שדה ו- בסיס סדור של אז

לכל עמודת הקורדינאטות של ביחס ל- היא כאשר

נסמן: ביחס לבסיס היינו

במילים אחרות, אם במ"ו מעל נקבע בסיס סדור נוכל לצייר את הווקטורים במרחב הווקטורי על השדה, כלומר נקבל התאמה אחד לאחד בין המרחב הווקטורי, לבין באמצעות קיבוע הבסיס הסדור כמערכת הקואורדינטות של השדה

הגדרה 1: וקטור ביחס לבסיס סטנדרטי

בסיס סטנדרטי של הוא



דוגמה 1: מציאת ווקטור ביחס לבסיס - תבנית

מ"ו, בסיס סדור.

יהי אז ביחס לבסיס המסודר על מערכת הצירים לפי הוקטור שלנו יהיה במרחק של, כלומר עמודת הקואורדינטות גם היא .מכאן ש-



דוגמה 2: מציאת ווקטור ביחס לבסיס

ו.

אז על מערכת הצירים :

מכאן, .כי מתקיים ש-

לחילופין, הפעולה זהה ל- שהיא למעשה פתרון המטריצה:

הפתרון היחיד היינו



דוגמה 3: נשם לב לחשיבות הסדר של הבסיס (בהשוואה לדוגמה 2)

ו ו- אז ולכן



דוגמה 4: מציאת ווקטור על פי בסיס ווקטור

יהי ו- אז