מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הרעיון מאחור ווקטור ביחס לבסיס
(
[
v
]
b
)
{\displaystyle ([v]_{b})}
הגדרה 1: וקטור ביחס בסיס
יהי
V
{\displaystyle V}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
B
=
(
v
1
,
.
.
,
v
n
)
{\displaystyle B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)}
V
{\displaystyle V}
לכל
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
v
{\displaystyle v}
(
v
1
,
.
.
,
v
n
)
{\displaystyle \left(v_{1},..,v_{n}\right)}
[
c
1
⋮
c
n
]
∈
F
n
{\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{n}}
[
c
1
⋮
c
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}}
נסמן:
v
{\displaystyle v}
B
{\displaystyle B}
[
c
1
⋮
c
n
]
=
[
v
]
B
{\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=\left[{\text{v}}\right]_{B}}
במילים אחרות, אם במ"ו
V
{\displaystyle V}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
B
=
(
v
1
,
.
.
,
v
n
)
{\displaystyle B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)}
V
{\displaystyle V}
F
n
{\displaystyle F^{n}}
הגדרה 1: וקטור ביחס לבסיס סטנדרטי
בסיס סטנדרטי של
F
n
{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}
ε
=
(
e
1
,
.
.
.
,
e
n
)
{\displaystyle \varepsilon =(e_{1},...,e_{n})}
דוגמה 1: מציאת ווקטור ביחס לבסיס - תבנית
V
=
F
n
{\displaystyle V=\mathbb {F} ^{n}}
ϵ
=
(
e
1
,
.
.
,
e
n
)
{\displaystyle \epsilon =\left(e_{1},..,e_{n}\right)}
יהי
v
=
[
a
1
⋮
a
n
]
∈
V
{\displaystyle v={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\in V}
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}
v
=
a
1
e
1
+
.
.
.
+
a
n
e
n
=
a
1
+
.
.
.
+
a
n
{\displaystyle v=a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n}=a_{1}+...+a_{n}}
[
a
1
⋮
a
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}
F
n
∋
[
v
]
ϵ
=
[
a
1
⋮
a
n
]
=
v
∈
V
.
{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}\ni \left[v\right]_{\epsilon }={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=v\in V.}
דוגמה 2: מציאת ווקטור ביחס לבסיס
V
=
R
2
{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}
B
=
(
[
1
0
]
,
[
1
1
]
)
,
v
=
[
2
5
]
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left({\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\right),v={\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}}
אז על מערכת הצירים :
v
=
a
1
[
1
0
]
+
a
2
[
1
1
]
=
[
2
5
]
{\displaystyle v=a_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}}
מכאן,
[
v
]
B
=
[
−
3
5
]
{\displaystyle \left[v\right]_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}}}
v
=
−
3
[
1
0
]
+
5
[
1
1
]
=
[
2
5
]
{\displaystyle v=-3{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+5{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}}
לחילופין, הפעולה זהה ל-
[
1
1
0
1
]
[
a
1
a
2
]
=
[
2
5
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}2\\5\end{array}}\right]}
[
1
1
|
2
0
1
|
5
]
→
[
1
0
|
−
3
0
1
|
5
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&1&|&2\\0&1&|&5\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&0&|&-3\\0&1&|&5\end{array}}\right]}
הפתרון היחיד היינו
[
v
]
B
=
[
−
3
5
]
{\displaystyle \left[v\right]_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}}}
![{\displaystyle ([v]_{b})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa721427e7c81bb545aa48a0226e3c3210ca2644)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=\left[{\text{v}}\right]_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd14a57ab8848cb9a8a5af798841e582135222c)
![{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}\ni \left[v\right]_{\epsilon }={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=v\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e5ad28d9274c5f18b75f2b33563e9eb474eb93)
![{\displaystyle \left[v\right]_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b12a0ab8bb99e7dfb20b8d03d7b4c304e4f767)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}2\\5\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1463aecad9b630516289b808a3942669779994)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&1&|&2\\0&1&|&5\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&0&|&-3\\0&1&|&5\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea5c0811eb3e1eff19e62921ecee2a46a7d8d9d)
![{\displaystyle \left[v\right]_{\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}5\\-3\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98e1d609ed298831cb832587b61cfa438e8aa26)
![{\displaystyle [v]_{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6a321cdb564908a9a07bcf30595b05e223fb28)
![{\displaystyle \left[w\right]_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}5\\-3\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7c3b9a59c66ef2e15a599bd2a45a9840298fc5)
