אלגברה לינארית/פתרונות של מערכת משוואות הומוגנית

בחלק זה נרחיב את הדיון על פתרונות של מטריצה מדורגת רק שנתמקד בחלק זה במטריצות המתקבלות ממערכת משוואות הומוגנית $Ax=b$ כלומר שקבוצת הפתרונות שלה היא $b={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}$.

לפחות פתרון יחיד

טענה 1: לכל מערכת משוואות הומוגנית קיים לפחות פתרון אחד

אינסופית

טענה 2: אם במערכת משוואות הומוגנית $m<n$ אז קבוצת הפתרונות היא אינסופית כשמדרגים את המטריצה ${\begin{bmatrix}A&|&0\end{bmatrix}}$ נקבל את המטריצה ${\begin{bmatrix}R&|&0\end{bmatrix}}$ - כאשר $R$ מדורגת מצומצמת. נתון כי מספר האיברים המובילים במטריצה $R$ קטן ממספר העמודות $(m<n)$, אז ב-$R$ יש עמודה בלי איבר מוביל, מכאן בקבוצת הפתרונות של המערכת יהיה לפחות פרמטר אחד $(t\in \mathbb {R} )$, ולכן קבוצת הפתרון אינסוף פתרונות

פתרון יחיד

טענה 3: תהי מטריצה $A\in M_{n\times n}$ אז למערכת המשוואות ההומוגנית $Ax=0$ יהיה פתרון יחיד אמ"מ $A$ הפיכה מכיוון ראשון, אם $A$ הפיכה אז קיים פתרון יחיד: נתון $A$ הפיכה ולכן קיימת מטריצה $B$ הפוכה ל $A$. אם $x\in \mathbb {R} ^{n}$, ווקטור, הוא פתרון של $Ax=0$, אז $x=I_{n}x=\left(BA\right)x=B\left(Ax\right)=B\cdot 0=0$ כלומר $x=0$ ולכן למערכת המשוואות, $Ax=0$ יש פתרון יחיד . מכיוון שני, אם קיים פתרון יחיד אז הפיכה: נניח בשלילה ש-$A$ אינה הפיכה, ונגיע לסתירה: נסמן ב-$R$ מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ-$A$ ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות. $A$ אינה הפיכה לכן $R\neq I_{n}$ ולכן השורה האחרונה של $R$ היא שורת אפסים. קבוצות הפתרונות של מערכות המשוואות $Ax=0$ ו-$Rx=0$ זהות. לכן ל-$Rx=0$ יש פתרון יחיד כפי שהוכחנו לעיל. מצד שני, מאחר שבמטריצה $R\neq I_{n}$, יש ב-$R$ עמודה ללא איבר מוביל, בהצגה פרמטרית של $Rx=0$ צריך להיות לפחות פרמטר אחד, ולכן יש אינסוף פתרונות. זוהי סתירה.