אלגברה לינארית/צירוף לינארי

צירופים לינארים

הגדרה 1: צירוף לינארי יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$ ויהיו $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\in V$ (יתכן ש $v_{1},..v_{m}$ אינם וקטורים אלא טורים, מטריצות, פולינומים...) אז צירוף לינארי של $u_{1},\ldots ,u_{n}$ הוא ביטוי מהצורה $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}$, לחילופין, ווקטור מהצורה $c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+...+c_{m}v_{m}$ כאשר לכל i, $\alpha _{i}\in \mathbb {F}$

הגדרה 2: צירוף לינארי טריוויאלי צירוף לינארי $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}$ יקרא טריוויאלי, אם לכל i, $\alpha _{i}=0$ .

טענה 1: קבוצה פורשת היא צירוף לינארית יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$ ו-$S\neq \emptyset$ תת-קבוצה של $V$ אז הקבוצה הפורשת היא צירוף לינארי של וקטורי המרחב, ${\text{span S}}=\left\{c_{1}v_{1}+\dots +c_{m}v_{m}\mid v_{1},\dots v_{m}\in S,\,\,c_{1},...,c_{m}\in \mathbb {F} \,\,\,m\in \mathbb {N} \right\}$ הוכחה: נסמן את הקבוצה בצד ימין ב-$U$. כלומר $U=\left\{c_{1}v_{1}+\dots +c_{m}v_{m}\mid v_{1},\dots v_{m}\in S,\,\,c_{1},...,c_{m}\in \mathbb {F} \,\,\,m\in \mathbb {N} \right\}$ נוכיח כי ${\text{Span}}S=U$: נוכיח כי $U\subseteq {\text{span S}}$: יהי $u\in U$ אזי ניתן להציגו $u=c_{1}v_{1}+...+c_{m}v_{m}$ כאשר $v_{1},...,v_{m}\in S$. כל תת מרחב $W$ של $V$ שמכיל את $S$ על פני הגדרתה, מהכיל למעשה את הוקטורים $v_{1},...,v_{m}$. בשל סגירות לכפל תת המרחב מכיל גם את הוקטורים $c_{1}v_{1},...,c_{m}v_{m}$. בשל סגירות לחיבור, תת המרחב מכיל גם סכומם $c_{1}v_{1}+...+c_{m}v_{m}$ מכאן תת המרחב מכיל את הצירוף הלינארי $c_{1}v_{1}+...+c_{m}v_{m}$ מכאן שחיתוך של כל תתי המרחב, יכיל גם את הצירוף הלינארי, כלומר הוא מכיל את הקבוצה הפורשת $S$ זאת אומרת ${\text{span S}}$ מכיל את $U$. נוכיח כי ${\text{span}}S\subseteq U$: מספיק להוכיח ש-$U$ עצמו הוא תת מרחב שמכיל את $S$. לכל $v\in S$ מתקיים $1\cdot v\in U$ $(m=1,v_{1}=v,c_{1}=1)$ ולכן $v\in U$ כלומר הוכחנו ש$S\subseteq U$. נשאר להוכיח כי $U$ הינו תת מרחב: נבחר $v\in S$ אז $0\cdot v=U$ $(c_{1}=0,v_{1}=v,m=1)$ לכן $0\in U$. יהי $v,w\in U$ אז $v=c_{1}v_{1}+..+c_{m}v_{m}$ ו-$w=d_{1}w_{1}+...+d_{l}w_{l}$ (צירוף של מספר שונה של וקטורים שונים עם סקלרים שונים) מכאן $v+w=\left(c_{1}v_{1}+...+c_{m}v_{m}\right)+\left(d_{1}w_{1}+...+d_{l}w_{l}\right)\in U$ולכן $\left(v+w\right)\in U$.

דוגמאות לקבוצה פורשת

דוגמה 1: קבוצה פורשת של המרחב $R^{2}$ יהי המרחב הווקטורי $R^{2}$ אז קבוצת הפרושת יכולה להיות ${\text{span}}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}$, ${\text{span}}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}0\\2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2\\0\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}$ (הכפלה בסקלר), ${\text{span}}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}$ (חיבור סקלרים) כי באמצעות כל אחת מבין הקבוצות האלו נוכל ליצור את כל הווקטורים הקיימים ב-$\mathbb {R^{2}}$

דוגמה 2: הקבוצה ${\text{span}}=(3,1,1),(1,-2,-3)$ פורשת את $\mathbb {R} ^{3}$ יהי $\mathbb {R} ^{3}$, $(1,5,7)$ הוא צירוף לינארי של ${\text{span}}=(3,1,1),(1,-2,-3)$ , כי $(1,5,7)=1(3,1,1)+-2(1,-2,-3)$

דוגמה 3: יהי $V=\mathbb {R} ^{2}$ ו$S=\left\{e_{1}\right\}=\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\right\}$. אז${\text{span }}S=\left\{c\cdot e_{1}\mid c\in \mathbb {F} \right\}=\left\{{\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}\right\}\in \mathbb {R}$

דוגמאות לקבוצה פורשת כלליות

דוגמה 3: יהי $V=\mathbb {F} ^{n}$ ו$S=\left\{e_{1},e_{2},..,e_{n}\right\}=\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},...,{\begin{bmatrix}0\\\vdots \\0\\1\end{bmatrix}}\right\}$ אז ${\text{span}}S=\mathbb {F} ^{n}$ יהי ${\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{n}$ אז ${\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+...+x_{n}e_{n}\in {\text{sapn}}S$

הגדרה נוספת לקבוצה פורשת

הגדרה 1: יהי $V$ מרחב וקטורי ו$S$ תת קבוצה של $V$ כך ש-${\text{span}}S=V$ אז $S$ נקראת קבוצה פורשת מסקנה יהי $V$ מ"ו, ו-$S_{1},S_{2}$ תת-קבוצות של $V$ כך ש-$S_{1}\subset S_{2}$ וגם $S_{1}$ קבוצה פורשת, אז $S_{2}$ היא גם קבוצה פורשת. כלומר ${\text{span}}S_{1}={\text{span}}S_{2}=V$