לדלג לתוכן

אלגברה לינארית/משפטים של גרעין ותמונה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

משפטים

[עריכה]

משפט 1: יהיו מ"ו מעל ו- ה"ל אז העתקה היא על אם ורק אם .



משפט 2: יהיו מ"ו מעל ו- ה"ל אז העתקה היא חח"ע אם ורק אם .

כיוון 1:

אם חח"ע, אז לכל מתקיים בפרט . כמו כן מתקיים לכן .

כיוון 2:

נניח כי ונוכיח כי T חח"ע. ניקח כאשר . נניח בשלילה כי אז ולכן כלומר , סתירה להנחה ש .




דוגמה 1: דוגמאות למשפט 1 ולמשפט 2

  1. העתקת אפס מ ל אז ו-.
  2. אז ו.
  3. לכל אז
    • קבוצת הפתרונות של מ"מ הומוגנית עם מטריצה היא הגרעין :
  4. קבוצת הפתרונות של מ"מ עם מטריצה היא התמונה :
  5. , ההעתקה הליניארית של הנגזרת: אז כי אם אז הנגזרת כלומר .
  6. שדה, קבוצה ו , ו.אז . בנוסף , כי אם , נגדיר ע"י הפונקציה לכל .אז , כלומר .



משפט 8.1: הבסיס של התחום הוא קבוצה הפורשת של התמונה

יהיו מרחבים וקטוריים מעל ותהי ה"ל.

אם הם בסיס של אז



משפט 8.1: העתקה של

יהיו מרחבים וקטוריים מעל ותהי ה"ל אזי .


הגדרה 1: דרגה

יהי מ"ו ו ה"ל. אם נוצרים סופית מגדירים את הדרגה של כ-)


הגדרה 2: אפסיות או null

יהי מ"ו ו ה"ל. אם נוצרים סופית מגדירים את האפסיות של כ