לדלג לתוכן

אלגברה לינארית/כל תת מרחב של שדה f^m ניתן להציג כקבוצת הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית ב-m נעלמים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

למעשה המשפט אותו אנו הולכים להוכיח טוען כי ניתן להציג כל שדה כקבוצת פתרונות של מערכת משוואות הומוגנית, ובפרט, תת מרחב.

בפרק וקטור ביחס לבסיס טענו כי אם במ"ו מעל שדה נקבע בסיס סדור אז נקבל התאמה אחד לאחד בין לבין מפני שניתן לייצג את הווקטורים במרחב הווקטורי על השדה.


טענה 1: נתונה סדרה סופית . יהי . כמו גם, . מתקבלת מ- ע"י סדרה של פעולות אלמנטריות. נסמן את העמודה ה- של ב-, ונסמן את העמודה ה- של ב-. אז אם (שונים זה מזה) אז אם ורק אם . במילים אחרות, אם קיים לנו ווקטור שהוא צירוף של מספר ווקטורים, למשל של אז קבוצה זו של ווקטורים תפרוש מטריצה מדורגת.

נוכיח כיוון אחד מפני שהפעולות מתקבלות אחת מהשנייה על ידי פעולות אלמנטריות הפוכות. יהי אז הראנו בפרק הקודם כי קיימים כך ש-

נעביר הכל לאגף אחד:

אז נגדיר באופן הבא:

  1. אם כאשר אז .
  2. אם אז (ראה בדוגמה )
  3. אם (ראה בדוגמה )



דוגמה 1: המחשה לטענה 1

יהי כלומר תהי סדרה של ווקטורים כאשר אז נוכל להגדיר כך שמתקיים ש- כלומר הוא קבוצת הפתרונות של המטריצה

מאחר שהמטריצה היא מטריצה אלמנטרית מ- אז קבוצת הפתרונות שלה זהה ולכן הוא פתרון של מ"מ (מתקיים

נקבל: ולכן: )


טענה 2: בהינתן הנתונים שבטענה 1, אם ת"ל אמ"מ ת"ל

נובע מהוכחה לטענה 1 (ההגדרה הראשונה של תלות ליניארית)



דוגמה 2:

יהי ומטריצה המתקבלת מדורג , אז מתקיים ש- ולכן .

נעביר אגפים, אז הוא פתרון של וגם של .

מכאן גם , על כן, . ולכן .


טענה 3: נתונה מטריצה מדורגת מצומצמת עם איברים מובילים המופיעים בעמודות . נסמן ב- את העמודה ה- של . אז מתקיים:

  1. לכל .
  2. הם בסיס של . (כי ה- שורות האחרונות הן שורות אפסים)

מאחר ש- בת"ל (מהיות בת"ל) אז לכל עמודה של , קורדינטות אחרונות הן אפסים, ולכן היא נמצאת ב .



טענה 4: בהינתן הנתונים בתרגיל הקודם, מקיימת .

נראה הכלה דו כיוונית:

כיוון  :

תהי אז קיימים כך ש .

ולכן ניתן לכתוב: . נסמן ואז מתקיים .

נכפיל ב- ונקבל

נתון כי לכן

כשלוקחים את שורות אחרונות של ושל מקבלים אפס ו- בהתאמה.

לכן . לכן הוא פתרון של מ"מ .

כיוון  :

יהי פתרון מ"מ של . אז קורדינטות אחרונות של הן אפסים.

למ"מ קיים פתרון, (כי מול כל שורת אפסים יהיה בעמודה של המקדמים החופשיים)

נסמן את הפתרון ב . אז - נסמן ב- את המטריצה ההופכית של אז

כלומר ולכן הוא צירוף ליניארי

על כן .



דוגמה 3: דוגמה לטענה 4

יהי נמצא את מערכת המשוואות ששווה לקבוצה הפרושת שלהם אז (איברים מובילים במטריצה ימינית) ואיברים שאינם מובילים לכן .1 אז מהווה בסיס של .2 מאחר ש- אז


נסכם את הפרק: כל תת מרחב של ניתן להציג כקבוצת הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית ב m נעלמים.

הוכחה: כל תת מרחב של נוצר סופית, כלומר קיימים כך ש-, ולפי הטענה קיימת מ"מ שכזו.