אלגברה לינארית/כל תת מרחב של שדה f^m ניתן להציג כקבוצת הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית ב-m נעלמים

למעשה המשפט אותו אנו הולכים להוכיח טוען כי ניתן להציג כל שדה כקבוצת פתרונות של מערכת משוואות הומוגנית, ובפרט, תת מרחב.

בפרק וקטור ביחס לבסיס טענו כי אם במ"ו $V$ מעל שדה $\mathbb {F}$ נקבע בסיס סדור $B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ אז נקבל התאמה אחד לאחד בין $V$ לבין $\mathbb {F} ^{n}$ מפני שניתן לייצג את הווקטורים במרחב הווקטורי על השדה.

טענה 1: נתונה סדרה סופית $\left(v_{1},..,v_{n}\right)\in \mathbb {F} ^{m}$. יהי $U=span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$. כמו גם, $A,B\in M_{m\times n}$ .$B$ מתקבלת מ-$A$ ע"י סדרה של פעולות אלמנטריות. נסמן את העמודה ה-$i$ של $A$ ב-$v_{i}$, ונסמן את העמודה ה-$i$ של $B$ ב-$w_{i}$. אז אם $k,k_{1},..,k_{s}\in \left\{1,..,n\right\}$ (שונים זה מזה) אז $v_{k_{0}}\in span\left(v_{k_{1}},..,v_{k_{s}}\right)$ אם ורק אם $w_{k}\in span\left(w_{k_{1}},..,w_{k_{s}}\right)$. במילים אחרות, אם קיים לנו ווקטור שהוא צירוף של מספר ווקטורים, למשל של $v_{1},v_{2},v_{3}$ אז קבוצה זו של ווקטורים תפרוש מטריצה מדורגת. נוכיח כיוון אחד מפני שהפעולות מתקבלות אחת מהשנייה על ידי פעולות אלמנטריות הפוכות. יהי $v_{k_{0}}\in span\left(v_{k_{1}},..,v_{k_{s}}\right)$ אז הראנו בפרק הקודם כי קיימים $c_{k_{1}},..,c_{k_{s}}\in \mathbb {F}$ כך ש-$v_{k_{0}}=c_{k_{1}}v_{k_{1}}+...+c_{k_{s}}v_{k_{s}}$ נעביר הכל לאגף אחד: $c_{k_{1}}v_{k_{1}}+...+c_{k_{s}}v_{k_{s}}-1\cdot v_{k_{0}}=0$ אז נגדיר $z={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{n}$ באופן הבא: אם $i=k_{t}$ כאשר $1\leq t\leq s$ אז $z_{i}=c_{k_{\text{t}}}$. אם $1=k_{0}$ אז $z_{i}=-1$ (ראה בדוגמה $z_{2}=-1$) אם $z_{i}=0$ (ראה בדוגמה $z_{3}=0$)

דוגמה 1: המחשה לטענה 1 יהי $n=5$ כלומר תהי סדרה של ווקטורים $v_{1},\dots ,v_{5}$ כאשר $v_{2}=3v_{1}+v_{5}$ אז נוכל להגדיר $z=\left[{\begin{array}{c}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\\z_{4}\\z_{5}\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}3\\-1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{n}$ כך שמתקיים ש- $Az=0$ כלומר $z$ הוא קבוצת הפתרונות של המטריצה $Ax=0$ מאחר שהמטריצה $B$ היא מטריצה אלמנטרית מ-$A$ אז קבוצת הפתרונות שלה זהה ולכן $z$ הוא פתרון של מ"מ $Bx=0$ (מתקיים $Bz=0$ נקבל: $c_{k_{1}}w_{k_{1}}+...+c_{k_{s}}w_{k_{s}}-w_{k_{0}}=0$ ולכן: $w_{k_{0}}=c_{k_{1}}w_{k_{1}}+...+c_{k_{s}}w_{k_{s}}\in span\left(w_{k_{1}},...,w_{k_{s}}\right)$ )

טענה 2: בהינתן הנתונים שבטענה 1, אם $\left(v_{k_{1}},..,v_{k_{s}}\right)$ ת"ל אמ"מ $\left(w_{k_{1}},..,w_{k_{s}}\right)$ ת"ל נובע מהוכחה לטענה 1 (ההגדרה הראשונה של תלות ליניארית)

דוגמה 2: יהי $A={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\\-&-&-\\1&1&2\\1&2&4\end{bmatrix}}$ ומטריצה המתקבלת מדורג $A$, $B={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&w_{3}\\-&-&-\\1&1&2\\0&1&2\end{bmatrix}}$ אז מתקיים ש-$v_{3}=2v_{2}$ ולכן $v_{3}\in span\left(v_{2}\right)$. נעביר אגפים, $2v_{2}-v_{3}=0$ אז $z={\begin{bmatrix}0\\2\\-1\end{bmatrix}}$ הוא פתרון של $Ax=0$ וגם של $Bx=0$. מכאן גם $2w_{2}-w_{3}=0$, על כן, $w_{3}=2w_{2}$. ולכן $w_{3}\in span\left(w_{2}\right)$.

טענה 3: נתונה מטריצה מדורגת מצומצמת $R\in M_{m\times n}$ עם $l$ איברים מובילים המופיעים בעמודות $i_{1},..,i_{l}$. נסמן ב-$w_{i}$ את העמודה ה-$i$ של $R$. אז מתקיים: $w_{i_{t}}=e_{t}$ לכל $1\leq t\leq l$. $\left(e_{1},..,e_{l}\right)=\left(w_{i_{1}},..,w_{i_{l}}\right)$ הם בסיס של $span\left(w_{1},..,w_{n}\right)$. (כי ה-$n-l$ שורות האחרונות הן שורות אפסים) מאחר ש-$\left(w_{i_{1}},..,w_{i_{l}}\right)=\left(e_{1},..,e_{l}\right)$ בת"ל (מהיות $e_{1},...,e_{n}$ בת"ל) אז לכל עמודה של $R$, $n-l$ קורדינטות אחרונות הן אפסים, ולכן היא נמצאת ב $span\left(e_{1},..,e_{l}\right)$.

תרגיל 1: נתונה סדרה סופית $\left(v_{1},..,v_{n}\right)\in \mathbb {F} ^{m}$. נסמן $U=span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ מצא את בסיס של $U$

מאחר ש-$v_{1},...,v_{n}\in \mathbb {F} ^{m}$ נגדיר מטריצה $A$ כך שהעמודה ה-$i$ של $A$ היא $v_{i}$. נדרג את $A$ ונקבל מטריצה עם $l$ איברים מובילים המופיעים בעמודות $i_{1},..,i_{l}$. נסמן את העמודה ה-$i$ של $R$ ב-$w_{i}$ , אז $\left(w_{i_{1}},...,w_{i_{l}}\right)$ מהווה בסיס של $span\left(w_{1},..,w_{n}\right)$. ע"פ בטענה הראשונה, לפיה $\left(v_{i_{1}},...,v_{i_{l}}\right)$ מהווה בסיס של $span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$.

תרגיל 2: נתונה סדרה סופית $\left(v_{1},..,v_{n}\right)\in \mathbb {F} ^{m}$. נסמן $U=span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$. מצא את מטריצה (מערכת משוואות הומוגנית) $S$ כך ש $U=\left\{x\in \mathbb {F} ^{m}\mid Sx=0\right\}$
נסמן ב-$A$ מטריצה כך שהעמודה ה-$i$ שלה היא $v_{i}$ (לא $S$). קיימות מטריצה מדורגת מצומצמת של $A$ שתקרא $R$, ומטריצה הפיכה $P$ כך שמתקיים $R=P\cdot A$. ($P$ מכפלה של מכפלה של אלמנטריות) נסמן ב $l$ את מספר האיברים המובילים ב $R$, לכן $m-l$ שורות הן שורות אפסים. תהי $S$ מטריצה שמתקבלת מ-$P$ ע"י מחיקה של $l$ שורות ראשונות

טענה 4: בהינתן הנתונים בתרגיל הקודם, $S_{n-l\times m}$ מקיימת $span\left(v_{1},..,v_{n}\right)=\left\{x\in \mathbb {F} ^{m}\mid Sx=0\right\}$. נראה הכלה דו כיוונית: כיוון $span\left(v_{1},..,v_{n}\right)\subset \left\{x\in \mathbb {F} ^{m}\mid Sx=0\right\}$ : תהי $b\in span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ אז קיימים $c_{1},..,c_{n}\in \mathbb {F}$ כך ש $b=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}$. ולכן ניתן לכתוב: $A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=b$. נסמן $w={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}$ ואז מתקיים $Aw=b$. נכפיל ב-$p$ ונקבל $P\left(Aw\right)=Pb$ נתון כי $PA=R$ לכן $Rw=Pb$ כשלוקחים את $m-l$ שורות אחרונות של $R$ ושל $P$ מקבלים אפס ו-$S$ בהתאמה. לכן $0=0_{w}=Sb$. לכן $b$ הוא פתרון של מ"מ $Sx=0$. כיוון $span\left(v_{1},..,v_{n}\right)\supseteq \left\{x\in \mathbb {F} ^{m}\mid Sx=0\right\}$ : יהי $b\in \mathbb {F} ^{m}$ פתרון מ"מ של $Sx=0$. אז $m-l$ קורדינטות אחרונות של $Pb$ הן אפסים. למ"מ $Rx=Pb$ קיים פתרון, (כי מול כל שורת אפסים יהיה $0$ בעמודה של המקדמים החופשיים) נסמן את הפתרון ב ${\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}$. אז $R{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=Pb$ - נסמן ב-$Q$ את המטריצה ההופכית של $P$ אז $A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=Q\left(PA\right){\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=QR{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=\left(QP\right)b=b$ כלומר $A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=b$ ולכן $b$ הוא צירוף ליניארי $b=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}$ על כן $b\in span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$.

דוגמה 3: דוגמה לטענה 4 יהי $V=\mathbb {R} ^{3},v_{1}={\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix}},v_{2}={\begin{bmatrix}2\\-2\\-4\end{bmatrix}},v_{3}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},v_{4}={\begin{bmatrix}0\\-1\\-2\end{bmatrix}}$ נמצא את מערכת המשוואות ששווה לקבוצה הפרושת שלהם ${\begin{bmatrix}1&2&1&0\\-1&-2&0&-1\\-2&-4&0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}1&2&1&0\\0&0&1&-1\\0&0&2&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\2&0&1\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}1&2&-1&1\\0&0&1&-1\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&1&0\\0&-2&1\end{bmatrix}}$אז $l=2$ (איברים מובילים במטריצה ימינית) ואיברים שאינם מובילים $m-l=3-2=1$ לכן $S={\begin{bmatrix}0&-2&1\end{bmatrix}}$ .1 אז $\left(v_{1},v_{3}\right)$ מהווה בסיס של $span\left(v_{1},..,v_{4}\right)$ .2 מאחר ש-$S={\begin{bmatrix}0&-2&1\end{bmatrix}}$ אז $span\left(v_{1},..,v_{4}\right)=\left\{{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -2x_{2}+x_{3}=0\right\}$

נסכם את הפרק: כל תת מרחב של $\mathbb {F} ^{m}$ ניתן להציג כקבוצת הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית ב m נעלמים.

הוכחה: כל תת מרחב $U$ של $\mathbb {F} ^{m}$ נוצר סופית, כלומר קיימים $v_{1},..,v_{n}\in U$ כך ש-$span\left(v_{1},..,v_{n}\right)=U$, ולפי הטענה קיימת מ"מ שכזו.