לדלג לתוכן

אלגברה לינארית/בסיסים של גרעין ותמונה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

מציאת בסיס לגרעין[עריכה]

הגרעין הוא אוסף הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית :

לפי הגדרת הגרעין, .

הוא ווקטור ולכן ניתן להציגו גם כך ההעתקה גם היא ניתנת להצגה באמצעות מטריצה ולכן נקבל לפי הגדרה .

כלומר הוא אוסף כל הפתרונות שהמשוואה שלהן שווה אפס. לפיכך כאשר נתון לנו מטריצת העתקה

וברצוננו למצוא בסיס לגרעין:

  1. נדרג את מטריצת העתקה (המקדמים בלבד ללא הנעלמים).
  2. נמצא את אוסף הפתרונות של המטריצה השווים ל-
  • ווקטורי הפתרון הם הבסיס, ובתנאי ששונים מאפס, הפורשים את גרעין T.

איך מוצאים בסיס לתמונה?[עריכה]

על פי הגדרה התמונה של תהיה כלומר

במילים אחרות התמונה היא אוסף קומבינציות לינאריות של עמודות A שהוא תת מרחב הנפרש על ידי העמודות.

לפיכך כאשר נרצה למצוא בסיס לתמונה של העתקה נבצע את הפעולות הבאות:

  1. נדרג את המטריצה המשוחלפת ל-A (המטריצה של המקדמים בלבד).
  2. שחלוף הווקטורים המתקבלים לאחר הדרוג הוא בסיס התמונה.

דוגמא[עריכה]

תהי נמצא בסיס לגרעין ולתמונה של

נדרג את ונקבל . נמצא את אוסף הפתרונות של המערכת (מפני שהגרעין מקיים ) הוא: ולכן הוא בסיס לגרעין.

כמו כן, העמודה היחידה עם איבר מוביל היא הראשונה, ולכן הוא בסיס לתמונה.