אלגברה לינארית/בסיסים של גרעין ותמונה

מציאת בסיס לגרעין

הגרעין הוא אוסף הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית $Ax=0$ :

לפי הגדרת הגרעין, ${\text{Ker}}(T)=\{v\in V|T(v)=0_{W}\}\subseteq V$ .

$v$ הוא ווקטור ולכן ניתן להציגו גם כך ${\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$ ההעתקה גם היא ניתנת להצגה באמצעות מטריצה ולכן נקבל לפי הגדרה ${\text{Ker}}(T)={\Biggl \{}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}|A*{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}=0{\Biggl \}}$ .

כלומר הוא אוסף כל הפתרונות שהמשוואה שלהן שווה אפס. לפיכך כאשר נתון לנו מטריצת העתקה $T\left[{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}}\right]=\left({\begin{matrix}a_{11}x_{1}&a_{12}x_{2}&\cdots &x_{n}a_{1n}\\a_{21}x_{1}&a_{22}x_{2}&\cdots &a_{2n}x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+&a_{m2}x_{2}&\cdots &a_{mn}x_{n}\end{matrix}}\right)$

וברצוננו למצוא בסיס לגרעין:

נדרג את מטריצת העתקה (המקדמים בלבד ללא הנעלמים).
נמצא את אוסף הפתרונות של המטריצה השווים ל- $b=0$

ווקטורי הפתרון הם הבסיס, ובתנאי ששונים מאפס, הפורשים את גרעין T.

איך מוצאים בסיס לתמונה?

על פי הגדרה התמונה של $T$ תהיה ${\mbox{Im}}(T)=\{T(v)|v\in V\}$ כלומר ${\mbox{Im}}(T)={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}|{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in V{\Biggl \}}$

במילים אחרות התמונה היא אוסף קומבינציות לינאריות של עמודות A שהוא תת מרחב הנפרש על ידי העמודות.

לפיכך כאשר נרצה למצוא בסיס לתמונה של העתקה $T\left[{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}}\right]=\left({\begin{matrix}a_{11}x_{1}&a_{12}x_{2}&\cdots &x_{n}a_{1n}\\a_{21}x_{1}&a_{22}x_{2}&\cdots &a_{2n}x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+&a_{m2}x_{2}&\cdots &a_{mn}x_{n}\end{matrix}}\right)$ נבצע את הפעולות הבאות:

נדרג את המטריצה המשוחלפת ל-A (המטריצה של המקדמים בלבד).
שחלוף הווקטורים המתקבלים לאחר הדרוג הוא בסיס התמונה.

דוגמא

תהי $T\left(\left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]\right)=\left[{\begin{array}{c}x-2y-z\\-2x+4y+2z\end{array}}\right]\Leftrightarrow A={\begin{bmatrix}1&-2&-1\\-2&4&2\end{bmatrix}}$ נמצא בסיס לגרעין ולתמונה של $T_{A}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$

נדרג את $A$ ונקבל ${\begin{bmatrix}1&-2&-1\\0&0&0\end{bmatrix}}$ . נמצא את אוסף הפתרונות של המערכת (מפני שהגרעין מקיים $ax=0$ ) הוא: $\left\{{\begin{bmatrix}2t_{1}+t_{2}\\t_{1}\\t_{2}\end{bmatrix}}\right\}=\left\{t_{1}{\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}}+t_{2}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}\mid t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \right\}$ ולכן $\left\{{\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}\right\}$ הוא בסיס לגרעין.

כמו כן, העמודה היחידה עם איבר מוביל היא הראשונה, ולכן $\left\{{\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}}\right\}$ הוא בסיס לתמונה.