אלגברה לינארית/גרעין ותמונה

גרעין

סקיצת העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים, עם תיאור הגרעין והתמונה

הגדרה 1: גרעין יהיו $V,W$ מרחבים וקטוריים מעל $\mathbb {F}$ ותהי $T:V\to W$ ה"ל. הגרעין של $T$ הנו ${\text{Ker}}(T)=\{v\in V:T(v)={\vec {0}}_{W}\}\subseteq V$

משפט 1: $\ker(T)$ הוא תת־מרחב של $V$ נוכיח הגדרת תת־מרחב: מאחר ש־$T({\vec {0}})={\vec {0}}$ מתקיים ${\vec {0}}\in {\text{Ker}}(T)$. סגירות לחיבור: אם ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in \ker(T)$ אז $T({\vec {v}}_{1})=T({\vec {v}}_{2})={\vec {0}}$ מכאן $T({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=T({\vec {v}}_{1})+T({\vec {v}}_{2})={\vec {0}}+{\vec {0}}={\vec {0}}$ סגירות לכפל גם תרגיל.

תמונה

הגדרה 8.1: תמונה יהיו $V,W$ מרחבים וקטוריים מעל $\mathbb {F}$ ותהי $T:V\to W$ ה"ל. התמונה של $T$ תהיה ${\text{Im}}(T)=\{T({\vec {v}}):{\vec {v}}\in V\}=\{{\vec {w}}\in W:\exists \ {\vec {v}}\in V:T({\vec {v}})={\vec {w}}\}\subseteq W$

משפט 2: ${\text{Im}}(T)$ היא תת־מרחב של $W$ נוכיח הגדרת תת‏־מרחב: מאחר ש־$T({\vec {0}})={\vec {0}}$ מתקיים ${\vec {0}}\in {\text{Im}}(T)$. סגירות לחיבור: אם ${\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}\in {\text{Im}}(T)$ אזי קיימים ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V$ עבורם $T({\vec {v}}_{1})={\vec {w}}_{1},T({\vec {v}}_{2})={\vec {w}}_{2}$ $T({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=T({\vec {v}}_{1})+T({\vec {v}}_{2})={\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ לכן ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}\in {\text{Im}}(T)$. בדיקת סגירות ביחס לכפל בסקלר בדומה.

האפסיות

הגדרה 1.8.1: האפסיות של T האפסיות של $T$ שווה לממד הגרעין כלומר $\nu (T)=\dim {\bigl (}{\text{Ker}}(T){\bigr )}$