אלגברה לינארית/חישוב דטרמיננטה לפי נוסחת לפלס (מינורים)

מטריצה ריבועית 2×2

$\det(A)={\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}}=1\cdot 3-2\cdot 1=1$

מטריצה ריבועית 3×3

נוסחה כללית:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}$

(מבודדים שורה ראשונה ומכפילים בכל המטריצות הריבועיות שנותרו)

נחשב את הדטרמיננטה של $A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}$ בכדי להסביר את הפעולה שהוכחנו במשפט 1 בדטרמיננטה:

${\begin{aligned}\det(A)&=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}-1&3\\2&-1\end{vmatrix}}+(-1)^{2+2}\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}-2&-3\\2&-1\end{vmatrix}}+(-1)^{3+2}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}-2&-3\\-1&3\end{vmatrix}}\\&=(-2){\bigl [}(-1)(-1)-(2)(3){\bigr ]}+(1){\bigl [}(-2)(-1)-(2)(-3){\bigr ]}\\&=(-2)(-5)+8=18\end{aligned}}$

השיטה הלא פורמלית היא פעם להכפיל אלכסון בעצמו ובאחד ופעם להחסיר (כלומר להכפיל את האלכסון השני ב־1-) את אותו אלכסון מהאלכסון הבא, וכך חלילה:

${\begin{aligned}\det(A)&=(-2){\begin{bmatrix}1&3\\0&-1\end{bmatrix}}-(2){\begin{bmatrix}-1&3\\2&-1\end{bmatrix}}+(-3){\begin{bmatrix}-1&1\\2&0\end{bmatrix}}\\&=(2){\bigl [}(1)(-1)-(3)(0){\bigr ]}-(2){\bigl [}(-1)(-1)-(3)(2){\bigr ]}+(-3){\bigl [}(-1)(0)-(1)(2){\bigr ]}\\&=(-2)(-5)+8=18\end{aligned}}$