אלגברה לינארית/העתקה חד ערכית ועל

משפט 1: העתקה חח"ע אםם על יהי $V$ מ"ו נוצר סופית, ו־$T:V\to V$ ה"ל. $T$ היא העתקה חח"ע אמ"מ $T$ על. הוכחה: אם $T$ חח"ע אז $\ker(T)=\{{\vec {0}}\}$, מכאן ${\text{null}}(T)=0$. ממשפט הממדים השני $\dim {\bigl (}{\text{Im}}(T){\bigr )}={\text{rank}}(T)=\dim(V)$. ומאחר ש־${\text{Im}}(T)$ תת־מרחב של $V$ מתקיים ${\text{Im}}(T)=V$. כלומר $T$ על. אם $T$ על, אז ${\text{Im}}(T)=V$ ולכן $\dim {\bigl (}{\text{Im}}(T){\bigr )}={\text{rank}}(T)=\dim(V)$. מהמשפט מתקיים ${\text{null}}(T)={\vec {0}}$. לכן $\ker(T)=\{{\vec {0}}\}$ ומכאן $T$ חח"ע.

משפט 1: אם העתקה היא חח"ע והפוכה יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ נוצרים סופית, עבורם $\dim V=\dim W,T:V\to W$. התנאים הבאים שקולים: $\ker(T)=\{{\vec {0}}\}$, כלומר $T$ חח"ע. ${\text{Im}}(T)=W$, כלומר $T$ על. ל־$T$ יש העתקה הפוכה. הוכחה: הטענה נובעת מהמשפט של הרכבה הפיכה $1\Rightarrow 2,\ 2\Rightarrow 1$ משפט הממדים $3\Rightarrow 1,\ 3\Rightarrow 2$ כי כל הפיכה היא חח"ע ועל