אלגברה לינארית/העתקה חד ערכית ועל

משפט 1: העתקה חח"ע אםם על יהי $V$ מ"ו נוצר סופית, ו־$T:V\to V$ ה"ל. $T$ היא העתקה חח"ע אמ"מ $T$ על. הוכחה: אם $T$ חח"ע אז $\ker (T)=\{\overrightarrow{0}\}$, מכאן $\text{null}(T)=0$. ממשפט הממדים השני $\dim (\text{Im}(T))=\text{rank}(T)=\dim (V)$. ומאחר ש־$\text{Im}(T)$ תת־מרחב של $V$ מתקיים $\text{Im}(T)=V$. כלומר $T$ על. אם $T$ על, אז $\text{Im}(T)=V$ ולכן $\dim (\text{Im}(T))=\text{rank}(T)=\dim (V)$. מהמשפט מתקיים $\text{null}(T)=\overrightarrow{0}$. לכן $\ker (T)=\{\overrightarrow{0}\}$ ומכאן $T$ חח"ע.

משפט 1: אם העתקה היא חח"ע והפוכה יהיו $V,W$ מ"ו מעל $𝔽$ נוצרים סופית, עבורם $\dim V=\dim W,T:V\to W$. התנאים הבאים שקולים: $\ker (T)=\{\overrightarrow{0}\}$, כלומר $T$ חח"ע. $\text{Im}(T)=W$, כלומר $T$ על. ל־$T$ יש העתקה הפוכה. הוכחה: הטענה נובעת מהמשפט של הרכבה הפיכה $1\Rightarrow 2,2\Rightarrow 1$ משפט הממדים $3\Rightarrow 1,3\Rightarrow 2$ כי כל הפיכה היא חח"ע ועל