אלגברה לינארית/משפטי תלות

טענה 1: נתון $V$ מ"ו, $S$ תת קבוצה של $V$ בת"ל. נתון $V\ni w\notin span\left(S\right)$. אז $S\cup \left\{w\right\}$ בת"ל. יהיו $c_{1},..,c_{n}\in \mathbb {F}$ ו-$v_{1},..,v_{n}\in S\cup \left\{w\right\}$ כך ש $c_{1}v_{1}+..+c_{n}v_{n}=0$ אז לכל $1\leq i\leq n$ מתקיים $v_{i}\neq w$ (כי $v_{1},..,v_{n}\in S\cup \left\{w\right\}$), אז $v_{i}\in S$ ומאחר ש $S$ בת"ל מתקיים $c_{1}=..=c_{n}=0$. אם קיים $1\leq i\leq n$ כך ש-$v_{i}=w$ ו-$c_{i}=0$, אז מתקיים שהביטוי ללא $v_{i}$, כלומר , $c_{1}v_{1}+..+c_{i-1}v_{i-1}+c_{i+1}v_{i+1}+..+c_{n}v_{n}=0$, כל האיברים שונים מ$w$, לכן $v_{1},...,v_{i-1},...,v_{i+1},...,v_{n}\in S$ מאחר ש-$S$ בת"ל $c_{1},...,c_{i-1},c_{i+1},c_{n}$ שווים אפס ולכן בת"ל. אם קיים $1\leq i\leq n$ כך ש-$v_{i}=w$ ו-$c_{i}\neq 0$ אז מתקיים: $w=v_{i}=-{\frac {\left(c_{1}v_{1}+..+c_{i-1}v_{i-1}+c_{i+1}v_{i+1}+..+c_{n}v_{n}\right)}{c_{i}}}$ ולכן $w\in span\left(S\right)$ בסתירה לנתון.