אלגברה לינארית/מטריצת מעבר id

הגדרה 7.2: מטריצת מעבר id

יהי $V$ מ"ו נוצר סופית. $B, C$ בסיסים של $V$ .

נתבונן בה"ל $I d_{V} : V \to V$ אז ${[I d]}_{C}^{B} {[v]}_{B} = {[v]}_{C}$ .

מטריצת ${[I d]}_{C}^{B}$ נקראת מטריצת מעבר מ- $B$ ל $C$ .

תכונות

${[I d]}_{B}^{B} = I_{n}$ מפני ${[I d]}_{B}^{B} {[v]}_{B} = {[v]}_{B} .$ . הרי הבסיס $B = (v_{1}, .., v_{n})$ כך שהעמודה ה- $j$ של ${[I d]}_{B}^{B}$ היא $(\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) = e_{j}$ ששווה $[I d (v_{j})] = {[v_{j}]}_{B} = (\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) = e_{j} .$
$V = 𝔽^{n}$ . $B = (v_{1}, .., v_{n})$ בסיס כלשהו של $V$ ו- $C = ℰ = (e_{1}, .., e_{n})$ הבסיס הסטנדרטי של $𝔽^{n}$ .העמודה ה- $j$ של ${[I d]}_{ℰ}^{B}$ היא $v_{j}$ , מפני ש ${[I d (v_{j})]}_{ℰ} = {[v_{j}]}_{ℰ} = v_{j}$ .

דוגמה 1:

$V = ℝ^{2}$ , $B = ((\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}))$ , $C = ℰ = (e_{1}, e_{2})$ ו- ${[v]}_{ℰ} = (\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix})$ נמצא את $(\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix})$ בבסיס $B$ כלומר בכמה יש להזיז את $v_{E}$ בכדי ליצג על מערכת הצירים שראשיתה ב- $B$ .

${[v]}_{B} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ ?

אז ${[I d]}_{ℰ}^{B} = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ ומתקיים $(\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix}) = x_{1} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + x_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ לכן ${[v]}_{B} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$