מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הגדרה 1: מכפלת מטריצות
תהא
A
∈
M
m
×
n
{\displaystyle A\in M_{m\times n}}
, ותהא
B
∈
M
p
×
m
{\displaystyle B\in M_{p\times m}}
(מספר השורות של מטריצה
A
{\displaystyle A}
שווה למספר העמודות של מטריצה
B
{\displaystyle B}
, ראה דוגמה).
נסמן את העמודות של מטריצה
A
{\displaystyle A}
ב־
c
1
,
…
,
c
n
{\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}
אז המטריצה
B
A
∈
M
p
×
n
{\displaystyle BA\in M_{p\times n}}
ועמודותיה תהינה
B
c
1
,
…
,
B
c
n
{\displaystyle Bc_{1},\ldots ,Bc_{n}}
או לחילופין
(
A
B
)
i
j
=
∑
k
=
1
m
a
i
k
b
k
j
{\displaystyle (AB)_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}}
.
דוגמה לגודלה של מרטיצה המתקבלת מכפל שתי מטריצות. אם מספר העמודות של
A
{\displaystyle A}
שונה ממספר השורות של
B
{\displaystyle B}
, הכפל
A
B
{\displaystyle AB}
לא מוגדר. נשם לב על פי הגדרה של מכפלת המטריצות, מאחר שיש לנו מטריצה בגודל
4
×
2
{\displaystyle 4\times 2}
ומטריצה
2
×
3
{\displaystyle 2\times 3}
אז נקבל מטריצה בגודל
4
×
3
{\displaystyle 4\times 3}
האיבר במיקום ה־
c
i
j
{\displaystyle c_{ij}}
[ עריכה ]
הגדרה 6: כפל מטריצות
כפל מטריצות בין מטריצה
A
{\displaystyle A}
,מטריצה
B
{\displaystyle B}
מסומן כ
A
B
{\displaystyle AB}
אם כופלים מצד ימין, או לחלופין
B
A
{\displaystyle BA}
אם כופלים מצד שמאל, הכפל
A
B
{\displaystyle AB}
מוגדר רק כאשר אם
A
{\displaystyle A}
מסדר
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
, אז
B
{\displaystyle B}
מסדר
n
×
z
{\displaystyle n\times z}
, כלומר הדרישה היא שמספר העמודות במטריצה הימנית יהיה שווה למספר השורות במטריצה השמאלית.
כאשר הכפל
A
B
{\displaystyle AB}
מוגדר, כלומר כאשר
A
∈
M
m
,
n
(
F
)
,
B
∈
M
n
,
z
(
F
)
{\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {F} ),B\in M_{n,z}(\mathbb {F} )}
, האיבר במקום ה
(
i
,
j
)
{\displaystyle (i,j)}
במטריצה
A
B
{\displaystyle AB}
, יהיה מוגדר כ
∑
l
=
1
m
a
i
l
b
l
j
{\displaystyle \sum _{l=1}^{m}\ a_{il}b_{lj}}
, כלומר נרוץ על סכימת הכפל של כל זוג איברים.
דוגמא:
A
=
(
1
2
3
4
)
,
B
=
(
5
4
3
2
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}5&4\\3&2\end{pmatrix}}}
אזי מתקיים
A
B
=
(
5
+
6
4
+
4
15
+
12
12
+
8
)
=
(
11
8
27
20
)
{\displaystyle AB={\begin{pmatrix}5+6&4+4\\15+12&12+8\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}11&8\\27&20\end{pmatrix}}}
.