אלגברה לינארית/מערכות של משוואות לינאריות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משוואה לינארית ב־n נעלמים[עריכה]

משוואה לינארית ב־ נעלמים היא משוואה מהצורה כאשר ו־ נעלמים. מייצג מקדם חופשי.

ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה,

מרחב (), למשל הוא המישור, מרחב תלת־ממדי וכן הלאה.

אניות (־יה סדורה) – אוסף של אברים מסודרים לפי סדר, למשל, , אזי היא אניה.

וקטור הוא פתרון של המשוואה אם בעת הצבתו במקום הנעלמים מתקבלת משוואה אמת. למשל כאשר הווקטור הוא למשל .

קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות[עריכה]

קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית הוא אוסף (קבוצת) הפתרונות של משוואה, אניה אשר ניתן להציגה באמצעות גרף. פתרון משוואה לינארית משמעותו הצגת קבוצות הפתרונות באמצעות פרמטרים.

בהמשך לדוגמא הקודמת, אוסף הפתרונות של היא האניה

מאחר ש־ נסמן את ולכן ההצגה הפרמטרית היא

נוכל לצייר את הפתרון על גרף באמצעות ציר שייצג את וציר שני את .

מערכת משוואות לינאריות[עריכה]

מערכת עם משוואות ו־ נעלמים:

כאשר

  • מקדם (סקלר)
  • מקדם חופשי
  • נעלמים.

קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות[עריכה]

נקרא פתרון של מערכת המשוואות אם בעת הצבתו במערכת המשוואות במקום הנעלמים כל אחת מהמשוואות תניב משוואת אמת.

דוגמה: תהי מערכת משוואות עם

מספר הפתרונות למערכת המשוואות הוא יחיד ופתרונו

סוגי מערכת פתרונות ופתרונות[עריכה]

  • מערכת משוואות קונסיסטנטית – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה אינה ריקה.
  • מערכת משוואות הומוגנית – מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריויאלית, כלומר שווה לאפס או במלים אחרות
  • מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות – כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמא או
  • מערכת משוואות לינארית עם נעלמים ללא פתרונות – מערכת משוואות מהצורה
  • מערכת משוואות עם פתרון יחיד – כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
  • מערכת משוואות עם אוסף פתרונות – כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.


הפרק הקודם:
מבוא לשדות
מערכות של משוואות לינאריות הפרק הבא:
חשבון מטריצות