אלגברה לינארית/מערכות של משוואות לינאריות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משוואה ליניארית ב-n נעלמים[עריכה]

משוואה לינארית ב- נעלמים היא משוואה מהצורה כאשר ו- נעלמים. מייצג מקדם חופשי.

ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה,

מרחב (), למשל הוא המישור, מרחב תלת מימדי וכן הלאה.

אניות (-יה סדורה) - אוסף של איברים מסודרים לפי סדר, למשל, , אזי היא אניה.

וקטור הוא פתרון של המשוואה אם בעת הצבתו במקום הנעלמים מתקבלת משוואה אמת. למשל כאשר הווקטור הוא למשל .

קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית הוא אוסף (קבוצת) הפתרונות של משוואה, אניה אשר ניתן להציגה באמצעות גרף. פתרון משוואה לינארית משמעותו הצגת קבוצות הפתרונות באמצעות פרמטרים.

קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות[עריכה]

בהמשך לדוגמה הקודמת, אוסף הפתרונות של היא האניה

מאחר ש- נסמן את ולכן ההצגה הפרמטרית היא

מערכת של משוואות ליניאריות[עריכה]

ערכת m משוואות לינאריות ב־n נעלמים היא מערכת עם משוואות ו־ נעלמים:

כאשר

  • מקדם (סקלר)
  • מקדם חופשי
  • נעלמים.

נקרא פתרון של מערכת המשוואות אם בעת הצבתו במערכת המשוואות במקום הנעלמים כל אחת מהמשוואות תניב משוואת אמת.

קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות[עריכה]

תהי מערכת משוואות עם ו-

מספר הפתרונות למערכת המשוואות הוא יחיד ופתרונו

סוגי מערכת פתרונות ופתרונות[עריכה]

  • מערכת משוואות קונסיסטנטית – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה ריקה.
  • מערכת משוואות הומוגנית – מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריוויאלית, כלומר שווה לאפס או במילים אחרות
  • מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות – כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמא או
  • מערכת משוואות לינארית עם נעלמים ללא פתרונות – מערכת משוואות מהצורה
  • מערכת משוואות עם פתרון יחיד – כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
  • מערכת משוואות עם אוסף פתרונות – כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.


הפרק הקודם:
מבוא לשדות
מערכות של משוואות לינאריות הפרק הבא:
חשבון מטריצות