אלגברה לינארית/מערכות של משוואות לינאריות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואות לינאריות עם נעלם יחיד[עריכה]

הגדרה 1: משוואה לינארית

משוואה לינארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה וניתנת לייצג, כאשר מספרים בשדה, ו־ הנו פתרון של המשוואה

כאשר נקבל את המשוואה ולכן מתקיים:

  1. קיים פתרון למערכת ב־
  2. קיים פתרון למערכת ב־
  3. קיים פתרון ב־

כאשר  :

  • לכל יש למשוואה פתרון יחיד ב־

כאשר  :

  • לכל יש למשוואה פתרון ב־ אם
  • לכל יש למשוואה אינסוף פתרונות ב־ אם

משוואה לינארית שם שני נעלמים[עריכה]

הגדרה 1: משוואה לינארית שם שני נעלמים

משוואה לינארית בסדרת משתנים עם מקדמים הנה משוואה מהצורה



משפט 2: אוסף הפתרונות למשוואה עם שני נעלמים

אם אינם מתאפסים בו בעת אז אוסף הפתרונות למשוואה מהווה ישר במישור


משוואה לינארית ב־n נעלמים[עריכה]

הגדרה 1: משוואה לינארית ב־n נעלמים

משוואה לינארית ב־ נעלמים עם מקדמים בשדה היא משוואה מהצורה

כאשר הנעלמים ממעלה ראשונה ו־ מייצג את פתרון המערכת ונקרא מקדם חופשי.

ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה,


הגדרה 2: מערכת m משוואות לינאריות ב־n נעלמים

מערכת עם משוואות ו־ נעלמים:

תהי מערכת משוואות ותסומן [1]

פתרונות של המערכת[עריכה]

  • מערכת משוואות קונסיסטנטית – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה ריקה.
  • מערכת משוואות הומוגנית – מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריוויאלית, כלומר שווה לאפס או במילים אחרות
  • מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות – כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמא או
  • מערכת משוואות לינארית עם נעלמים ללא פתרונות – מערכת משוואות מהצורה
  • מערכת משוואות עם פתרון יחיד – כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
  • מערכת משוואות עם אוסף פתרונות – כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.


הפרק הקודם:
מבוא לשדות
מערכות של משוואות לינאריות הפרק הבא:
חשבון מטריצות
  1. ^ יש כאן קשר ישיר לכפל מטריצות. אתם מוזמנים לחזור לפה אחרי שתלמדו כפל במטריצה ולנסות לבדוק למה זה באמת כפל מטריצות).