אלגברה לינארית/מערכות של משוואות לינאריות

משוואה לינארית ב־n נעלמים

משוואה לינארית ב־$n$ נעלמים היא משוואה מהצורה $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b$ כאשר $a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ ו־$x_{1},\ldots ,x_{n}$ נעלמים. $b$ מייצג מקדם חופשי.

ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה, $ax_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=\sum _{j=i}^{n}a_{j}x_{i}$

מרחב ($\mathbb {R} ^{n}$), למשל $\mathbb {R} ^{2}$ הוא המישור, $\mathbb {R} ^{3}$ מרחב תלת־ממדי וכן הלאה.

אניות ($n$־יה סדורה) – אוסף של אברים מסודרים לפי סדר, למשל, $\mathbb {R} ^{n}={\Big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in \mathbb {R} ,\forall 1\leq i\leq n{\Big \}}$ , אזי $x_{1},\ldots ,x_{n}$ היא אניה.

וקטור $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ הוא פתרון של המשוואה $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b$ אם בעת הצבתו במקום הנעלמים $x_{1},\ldots ,x_{n}$ מתקבלת משוואה אמת. למשל $x_{1}+x_{2}=0$ כאשר הווקטור הוא למשל $(2,-2)$ .

קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות

קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית הוא אוסף (קבוצת) הפתרונות של משוואה, אניה ${\Big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b{\Big \}}$ אשר ניתן להציגה באמצעות גרף. פתרון משוואה לינארית משמעותו הצגת קבוצות הפתרונות באמצעות פרמטרים.

בהמשך לדוגמא הקודמת, אוסף הפתרונות של $x_{1}+x_{2}=0$ היא האניה ${\Big \{}(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}+x_{2}=0{\Big \}}$

מאחר ש־$x_{1}=-x_{2}$ נסמן את $x_{2}=t$ ולכן ההצגה הפרמטרית היא ${\Big \{}(-t,t):t\in \mathbb {R} {\Big \}}={\Big \{}(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}-x_{2}=1{\Big \}}$

נוכל לצייר את הפתרון על גרף באמצעות ציר שייצג את $x_{1}$ וציר שני את $x_{2}$ .

מערכת משוואות לינאריות

מערכת עם $m$ משוואות ו־$n$ נעלמים:

${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

כאשר $a_{ij},b_{i}\in \mathbb {R}$

• $\alpha$ מקדם (סקלר)
• $b$ מקדם חופשי
• $x_{1},\ldots ,x_{n}$ נעלמים.

קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות

$(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ נקרא פתרון של מערכת המשוואות אם בעת הצבתו במערכת המשוואות במקום הנעלמים $x_{1},\ldots ,x_{n}$ כל אחת מהמשוואות תניב משוואת אמת.

דוגמה: תהי מערכת משוואות עם $m=2,n=2$

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=0\\x_{2}=1\end{cases}}$

מספר הפתרונות למערכת המשוואות הוא יחיד ופתרונו ${\bigl \{}(-1,1){\bigr \}}$

סוגי מערכת פתרונות ופתרונות

• מערכת משוואות קונסיסטנטית – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה אינה ריקה.
• מערכת משוואות הומוגנית – מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריויאלית, כלומר שווה לאפס או במלים אחרות

${\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}$

• מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות – כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמא $0x=0$ או

${\begin{cases}0x+y+2z=-1\\z+y=3\end{cases}}$

• מערכת משוואות לינארית עם $n$ נעלמים ללא פתרונות – מערכת משוואות מהצורה $0x+0y=2$
• מערכת משוואות עם פתרון יחיד – כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
• מערכת משוואות עם אוסף פתרונות – כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.

הפרק הקודם: מבוא לשדות

מערכות של משוואות לינאריות

הפרק הבא: חשבון מטריצות