אלגברה לינארית/מערכות של משוואות לינאריות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואות לינאריות עם נעלם יחיד[עריכה]

הגדרה 1: משוואה ליניארית

משוואה ליניארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה וניתנת לייצג, כאשר מספרים בשדה, ו- הינו פתרון של המשוואה

כאשר [עריכה]

כאשר נקבל את המשוואה ולכן מתקיים:

  1. קיים פתרון למערכת ב-
  2. יש פתרון למערכת ב-
  3. יש פתרון ב-

כאשר [עריכה]

משפט 1: פתרון יחיד ב-

לכל אם יש למשוואה פתרון יחיד ב-


כאשר [עריכה]

  • לכל אם יש למשוואה פתרון ב- אם
  • לכל אם יש למשוואה אינסוף פתרונות ב- אם

משוואה לינארית שם שני נעלמים[עריכה]

הגדרה 1: משוואה לינארית שם שני נעלמים

משוואה לינארית בסדרת משתנים עם מקדמים הינה משוואה מהצורה



משפט 2: אוסף הפתרונות למשוואה עם שני נעלמים

אם אינם מתאפסים בו בעת אז אוס, הפתרונות למשוואה מהווה ישר במישור


משוואה ליניארית ב-n נעלמים[עריכה]

הגדרה 1: משוואה ליניארית ב-n נעלמים

משוואה ליניארית ב- נעלמים עם מקדמים בשדה היא משוואה מהצורה: כאשר הנעלמים ממעלה ראשונה ו- מייצג את פתרון המערכת ונקרא מקדם חופשי.

ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה,


הגדרה 2: מערכת m משוואות ליניאריות ב-n נעלמים

מערכת עם n משוואות ו-n נעלמים:

תהי מערכת משוואות ותסומן [1]

פתרונות של המערכת[עריכה]

  • מערכת משוואות קונסיסטנטית- מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה ריקה.
  • מערכת משוואות הומוגנית - מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריוויאלית כלומר שווה לאפס או במילים אחרות .
  • מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות - כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמה או
  • מערכת משוואות לינארית עם n נעלמים ללא פתרונות - מערכת משוואות מהצורה
  • מערכת משוואות עם פתרון יחיד - כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
  • מערכת משוואות עם אוסף פתרונות - כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.


הפרק הקודם:
מבוא לשדות
מערכות של משוואות לינאריות הפרק הבא:
חשבון מטריצות
  1. ^ יש כאן קשר ישיר לכפל מטריצות. אתם מוזמנים לחזור לפה אחרי שתלמדו כפל במטריצה ולנסות לבדוק למה זה באמת כפל מטריצות).