מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט 1.8.1: קימת העתקה הפיכה ממרחב הפונקציות למרחב הוקטורים
נוכיח את קיומם של
יהי מ"ו מעל נוצר סופית, (התמונה והטווח שווים). אז קיימת ה"ל ממרחב הפונקציות הפיכה
הוכחה: ניקח בסיס סדור כלשהו של . נסמנו .
נגדיר ע"י . T היא ה"ל כי:
- אדטיביות :
![{\displaystyle T\left({\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}d_{1}\\\vdots \\d_{n}\end{pmatrix}}\right)=T\left({\begin{pmatrix}c_{1}+d_{1}\\\vdots \\c_{n}+d_{n}\end{pmatrix}}\right)=\left(c_{1}+d_{1}\right)v_{1}+...+\left(c_{n}+d_{n}\right)v_{n}=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}+d_{1}v_{1}+...d_{n}v_{n}=T\left({\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\right)+T\left({\begin{pmatrix}d_{1}\\\vdots \\d_{n}\end{pmatrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a6116e47aea4bd9579b4583bb0a66f5149a185)
- הומוגניות - בדומה מראים ש
.
נראה ש :
אם אז
מאחר ש בת"ל מתקיים כלומר ו .
אז לפי הטענה הקודמת T הפיכה.
הערה: אם העתקה ליניארית ההפוכה של
אז ![{\displaystyle S\left(v\right)=\left[v\right]_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06153c25d9c8eb4c1ce54c03da3c331d27c1f293)
|