אלגברה לינארית/תתי מרחב

תתי-מרחב

הגדרה 7.2: תת מרחב יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$. יהי $U\neq \emptyset$ קבוצה לא ריקה המקיים $U\subseteq V$. יהיה $U$ תת מרחב של $V$ (מסומן $U\leq V$) אם"ם: $0_{V}\in U$ - אפס של $V$ נכלל בתת הקבוצה $U$. $U$ סגורה לחיבור כלומר $\forall u,w\in U:u+w\in U$ $U$ סגורה לכפל כלומר $\forall u\in U\ \ \forall \alpha \in \mathbb {F} :\alpha u\in U$ ובקיצור $\forall u,v\in U,\alpha \in \mathbb {F} :(u+\alpha v)\in U$

הוכחה: אם $U$ תת-שדה, התכונה הראשונה מתקיימת כי ${\vec {0}}\in U$ והשניה בגלל הסגירות. נוכיח את הכיוון השני:

תכונות החילוף, הפילוג, הקיבוץ והנייטרליות לכפל בסקלר נובעות במישרין מקיומן ב- $V$ . נוכיח ${\vec {0}}\in U$ , קיום נגדי, וסגירות לחיבור ולכפל בסקלר: יהי $a\in U$ (קיים כזה, כי $U\neq \emptyset$). ניקח $u=v=a\ ,\ \alpha =-1$, ונקבל ${\vec {0}}=a+(-a)=u+\alpha v\in U$ . אם ניקח $u={\vec {0}}\ ,\ v=a\ ,\ \alpha =-1$ נקבל $-a=u+\alpha v\in U$ . יהיו $a,b\in U,\beta \in \mathbb {F}$ . אם ניקח $u=a\ ,\ v=b\ ,\ \alpha =1$ נקבל $a+b\in U$ , ואם ניקח $u={\vec {0}}\ ,\ \alpha =\beta \ ,\ v=a$ נקבל $\beta a\in U$ לכן, $U$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ , והוא תת-מרחב של $V$ .

דוגמאות

1. לכל $\mathbb {F}$ שדה ו-$V$ מרחב וקטורי, קיימת תת קבוצה, $U=\left\{0\right\}$ שהינו תת מרחב של $V$.
2. לכל $\mathbb {F}$ שדה ו-$V$ מרחב וקטורי קיימת תת הקבוצה $U=V$ שהינה תת מרחב של V.
3. לכל $\mathbb {F}$ והמרחב הווקטורי $V=\mathbb {F} ^{n}$, נוכל להגדיר תת קבוצה של $V,U=\left\{\left(x_{1},...x_{n}\right)\in V\mid x_{i}=0\,\,\forall 1\leq i\leq n\right\}$ . מפני שחיבור וכפל ב-$0$ נותנים סגירות עבור חיבור וכפל.
4. לכל $\mathbb {F}$ ומרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים $V=\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]$ נוכל להגדיר $U=\mathbb {F} \left[x\right]$ מפני ש $U=\mathbb {F} \left[x\right]\subset \mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]=V$ ולכן $U\subset V$.

קבוצת הפתרונות של מטריצה הומוגנית היא תת מרחב

תהי מטריצה $A\in M_{m\times n}$ עם מקדמים בשדה $\mathbb {F}$. נתונים $u,v\in \mathbb {F} ^{n}$ (וקטורים), ו- $c\in \mathbb {F}$, סקלר, אז מתקיימות התכונות הבאות:

1. חוק הפילוג חל על כפל מטריצה בוקטורים: $A\left(u+v\right)=Au+Av\in \mathbb {F} ^{m}$.
2. חוק החילוף $A\left(c\cdot u\right)=c\cdot \left(Au\right)\in \mathbb {F} ^{m}$

אזי כאשר $U=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}|Av=0\right\}$ (קבוצת הפתרונות של מטריצה הומוגנית) הוא תמיד תת מרחב של $\mathbb {F} ^{n}$ מפני ש:

1. $0\in U$ .
2. $u+v\in U$ - יהי $u,v\in U$ אז $Au=0$ וגם $Av=0$ ומכאן $A\left(u+v\right)=Au+Av=0+0=0$.
3. $cu\in U$- יהי $u\in U$ ו-$c\in \mathbb {F}$ אז $Au=0$ מכאן $A\left(cu\right)=c\left(Au\right)=c\cdot 0=0$.

דוגמות

1. תהי $A=I_{n}$ אז $U=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}\mid I_{n}v=0\right\}=\left\{0\right\}$ הוא תת מרחב
2. $A=0$ אז $U=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}\mid 0v=0\right\}=\mathbb {F} ^{n}$
3. יהי $A={\begin{bmatrix}0&\dots &1\end{bmatrix}}$ אז $U=\left\{v={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{n}\mid {\begin{bmatrix}0&\dots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=0\right\}=\left\{{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{n}\mid v_{n}=0\right\}$ תת מרחב.

תרגילים

תרגיל 1: יהי $\mathbb {R} ^{2}$ מ"ו מעל $\mathbb {R}$. האם $S=\left\{\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{2}|\ xy=0\right\}$ היא תת מרחב?
לא, אמנם $\left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]\in S$ אך לא סגירות לחיבור. יהי $\left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right]\in S$ אבל אין סגירות לחיבור מפני אינו מקיים את תנאי הקבוצה כלומר $xy=1*1\neq 0$

תרגיל 2: יהי $v=\mathbb {R} \left[x\right]$. האם $S=\left\{p(x)\in \mathbb {R} \left[x\right]|deg(p(x))\leq 2\land \ {\mbox{sum of p(x) is a rational number}}\right\}$ תת מרחב?
לא, מפני שלא קיים סגירות לסקלר מפני ${\sqrt {2}}=c\in \mathbb {F}$מתקיים ש-$1-x+x^{2}\in S$ אבל $1-{\sqrt {2}}x+{\sqrt {2}}x^{2}\notin S$ מפני סכום המקדמים אינו רציונלי