אלגברה לינארית/תתי מרחב

תתי-מרחב

הגדרה 7.2: תת מרחב

יהי $V$ מ"ו מעל $𝔽$ . יהי $U \neq \emptyset$ קבוצה לא ריקה המקיים $U \subseteq V$ .

יהיה $U$ תת מרחב של $V$ (מסומן $U \leq V$ ) אם"ם:

$0_{V} \in U$ - אפס של $V$ נכלל בתת הקבוצה $U$ .
$U$ סגורה לחיבור כלומר $\forall u, w \in U : u + w \in U$
$U$ סגורה לכפל כלומר $\forall u \in U \forall α \in 𝔽 : α u \in U$

ובקיצור $\forall u, v \in U, α \in 𝔽 : (u + α v) \in U$

הוכחה: אם $U$ תת-שדה, התכונה הראשונה מתקיימת כי $\vec{0} \in U$ והשניה בגלל הסגירות. נוכיח את הכיוון השני:

תכונות החילוף, הפילוג, הקיבוץ והנייטרליות לכפל בסקלר נובעות במישרין מקיומן ב- $V$ . נוכיח $\vec{0} \in U$ , קיום נגדי, וסגירות לחיבור ולכפל בסקלר: יהי $a \in U$ (קיים כזה, כי $U \neq \emptyset$ ). ניקח $u = v = a, α = - 1$ , ונקבל $\vec{0} = a + (- a) = u + α v \in U$ . אם ניקח $u = \vec{0}, v = a, α = - 1$ נקבל $- a = u + α v \in U$ . יהיו $a, b \in U, β \in 𝔽$ . אם ניקח $u = a, v = b, α = 1$ נקבל $a + b \in U$ , ואם ניקח $u = \vec{0}, α = β, v = a$ נקבל $β a \in U$ לכן, $U$ מ"ו מעל $𝔽$ , והוא תת-מרחב של $V$ .

דוגמאות

לכל $𝔽$ שדה ו- $V$ מרחב וקטורי, קיימת תת קבוצה, $U = {0}$ שהינו תת מרחב של $V$ .
לכל $𝔽$ שדה ו- $V$ מרחב וקטורי קיימת תת הקבוצה $U = V$ שהינה תת מרחב של V.
לכל $𝔽$ והמרחב הווקטורי $V = 𝔽^{n}$ , נוכל להגדיר תת קבוצה של $V, U = {(x_{1}, ... x_{n}) \in V ∣ x_{i} = 0 \forall 1 \leq i \leq n}$ . מפני שחיבור וכפל ב- $0$ נותנים סגירות עבור חיבור וכפל.
לכל $𝔽$ ומרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים $V = 𝔽 [[x]]$ נוכל להגדיר $U = 𝔽 [x]$ מפני ש $U = 𝔽 [x] \subset 𝔽 [[x]] = V$ ולכן $U \subset V$ .

קבוצת הפתרונות של מטריצה הומוגנית היא תת מרחב

תהי מטריצה $A \in M_{m \times n}$ עם מקדמים בשדה $𝔽$ . נתונים $u, v \in 𝔽^{n}$ (וקטורים), ו- $c \in 𝔽$ , סקלר, אז מתקיימות התכונות הבאות:

חוק הפילוג חל על כפל מטריצה בוקטורים: $A (u + v) = A u + A v \in 𝔽^{m}$ .
חוק החילוף $A (c \cdot u) = c \cdot (A u) \in 𝔽^{m}$

אזי כאשר $U = {v \in 𝔽^{n} | A v = 0}$ (קבוצת הפתרונות של מטריצה הומוגנית) הוא תמיד תת מרחב של $𝔽^{n}$ מפני ש:

$0 \in U$ .
$u + v \in U$ - יהי $u, v \in U$ אז $A u = 0$ וגם $A v = 0$ ומכאן $A (u + v) = A u + A v = 0 + 0 = 0$ .
$c u \in U$ - יהי $u \in U$ ו- $c \in 𝔽$ אז $A u = 0$ מכאן $A (c u) = c (A u) = c \cdot 0 = 0$ .

דוגמות

תהי $A = I_{n}$ אז $U = {v \in 𝔽^{n} ∣ I_{n} v = 0} = {0}$ הוא תת מרחב
$A = 0$ אז $U = {v \in 𝔽^{n} ∣ 0 v = 0} = 𝔽^{n}$
יהי $A = [\begin{matrix} 0 & \dots & 1 \end{matrix}]$ אז $U = {v = [\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}] \in 𝔽^{n} ∣ [\begin{matrix} 0 & \dots & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}] = 0} = {[\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}] \in 𝔽^{n} ∣ v_{n} = 0}$ תת מרחב.

תרגילים

תרגיל 1:
יהי

ℝ^{2}

מ"ו מעל

ℝ

. האם

S = {[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \in ℝ^{2} | x y = 0}

היא תת מרחב?

לא, אמנם $[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}] \in S$ אך לא סגירות לחיבור. יהי $[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \in S$ אבל אין סגירות לחיבור מפני אינו מקיים את תנאי הקבוצה כלומר $x y = 1 * 1 \neq 0$

תרגיל 2:
יהי

v = ℝ [x]

. האם

S = {p (x) \in ℝ [x] | d e g (p (x)) \leq 2 \land sum of p(x) is a rational number}

תת מרחב?

לא, מפני שלא קיים סגירות לסקלר מפני $\sqrt{2} = c \in 𝔽$ מתקיים ש- $1 - x + x^{2} \in S$ אבל $1 - \sqrt{2} x + \sqrt{2} x^{2} \notin S$ מפני סכום המקדמים אינו רציונלי