אלגברה לינארית/תתי מרחב

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

תתי-מרחב[עריכה]

הגדרה 7.2: תת מרחב

יהי מ"ו מעל . יהי קבוצה לא ריקה המקיים .

יהיה תת מרחב של (מסומן ) אם"ם:

  1. - אפס של נכלל בתת הקבוצה .
  2. סגורה לחיבור כלומר
  3. סגורה לכפל כלומר

ובקיצור


הוכחה: אם תת-שדה, התכונה הראשונה מתקיימת כי והשניה בגלל הסגירות. נוכיח את הכיוון השני:

תכונות החילוף, הפילוג, הקיבוץ והנייטרליות לכפל בסקלר נובעות במישרין מקיומן ב- . נוכיח , קיום נגדי, וסגירות לחיבור ולכפל בסקלר: יהי (קיים כזה, כי ). ניקח , ונקבל . אם ניקח נקבל . יהיו . אם ניקח נקבל , ואם ניקח נקבל לכן, מ"ו מעל , והוא תת-מרחב של .


מש"ל.PNG

דוגמאות[עריכה]

  1. לכל שדה ו- מרחב וקטורי, קיימת תת קבוצה, שהינו תת מרחב של .
  2. לכל שדה ו- מרחב וקטורי קיימת תת הקבוצה שהינה תת מרחב של V.
  3. לכל והמרחב הווקטורי , נוכל להגדיר תת קבוצה של . מפני שחיבור וכפל ב- נותנים סגירות עבור חיבור וכפל.
  4. לכל ומרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים נוכל להגדיר מפני ש ולכן .

קבוצת הפתרונות של מטריצה הומוגנית היא תת מרחב[עריכה]

תהי מטריצה עם מקדמים בשדה . נתונים (וקטורים), ו- , סקלר, אז מתקיימות התכונות הבאות:

  1. חוק הפילוג חל על כפל מטריצה בוקטורים: .
  2. חוק החילוף

אזי כאשר (קבוצת הפתרונות של מטריצה הומוגנית) הוא תמיד תת מרחב של מפני ש:

  1. .
  2. - יהי אז וגם ומכאן .
  3. - יהי ו- אז מכאן .

דוגמות[עריכה]

  1. תהי אז הוא תת מרחב
  2. אז
  3. יהי אז תת מרחב.

תרגילים[עריכה]