אלגברה לינארית/משפטי קבוצה פורשת

טענה 1: הקבוצה הפורשת הוא תת מרחב של המרחב הוקטורי ${\text{Span}}S\leq V$

קבוצה פורשת של קבוצה ריקה

טענה 1: הקבוצה מוכלת בקבוצה הפורשת שלה יהיו $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$ , וקבוצה $S\neq \varnothing$ תת־קבוצה של $V$ . אזי $S\subset {\text{span}}(S)$ .

טענה 2: כל תת קבוצה של תת קבוצה למרחב היא תת קבוצה של המרחב בעצמה יהיו $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$, וקבוצה $S\neq \emptyset$ תת קבוצה של $V$ אזי

טענה 3: יהיו $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$, וקבוצה $W\neq \emptyset$ תת קבוצה של $V$ ו-$S\subset W$ אזי $span(s)$ הוא תת קבוצה של $W$

טענה 4: יהיו $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$, וקבוצה $S_{1},S_{2}\neq \emptyset$ תתי מרחב של $V$ כך ש-$S_{1}\subset S_{2}$ אז $span(S_{1})\subset Span(S_{2})$

טענה 5: יהיו $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$, וקבוצה $S_{1},S_{2}\neq \emptyset$ תתי מרחב של $V$ כך ש- $S_{2}\subset S_{1}$ וגם $span(S_{1})\subset Span(S_{2})$ אזי $span(s_{1})=span(s_{2})$

הכלות

טענה 5: יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$ ו-$S_{1},S_{2}$ הן תת קבוצות של $V$. אם $S_{1}\subset S_{2}$ אז גם ${\text{span}}S_{1}\subset {\text{span}}S_{2}$. אם תת מרחב של $V$ מכיל את $S_{2}$ אז הוא מכיל את $S_{1}$. לכן קבוצת התת-מרחבים שמכילים את $S_{2}$ מוכל בקבוצה של התת-מרחבים שמכילים את $S_{1}$