מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
[ עריכה ]
משפט 1: אסוציאטיביות כפל מטריצות, אם המכפלה
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
(
B
C
)
=
(
A
B
)
C
{\displaystyle A(BC)=(AB)C}
הוכחה:
[
(
A
B
)
C
]
i
j
=
∑
k
=
1
p
[
A
B
]
i
k
c
k
j
=
∑
k
=
1
p
(
∑
l
=
1
n
a
i
l
b
l
k
)
c
k
j
=
∑
k
=
1
p
(
∑
l
=
1
n
a
i
l
b
l
k
c
k
j
)
=
∑
l
=
1
n
a
i
l
(
∑
k
=
1
p
b
l
k
c
k
j
)
=
∑
l
=
1
n
a
i
l
[
B
C
]
l
j
=
[
A
(
B
C
)
]
i
j
{\displaystyle \left[\left(AB\right)C\right]_{ij}=\sum _{k=1}^{p}\ \left[AB\right]_{ik}c_{kj}=\sum _{k=1}^{p}\left(\sum _{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}\ \right)c_{kj}=\sum _{k=1}^{p}\left(\sum _{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}c_{kj}\ \right)=\sum _{l=1}^{n}a_{il}\left(\sum _{k=1}^{p}b_{lk}c_{kj}\ \right)=\ \sum _{l=1}^{n}a_{il}\left[BC\right]_{lj}=\left[A\left(BC\right)\right]_{ij}}
הכפל דיסטריבוטיבי (פילוגי) עם פעולת החיבור. כלומר,
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
{\displaystyle A(B+C)=AB+AC}
(
A
+
B
)
C
=
A
C
+
B
C
{\displaystyle (A+B)C=AC+BC}
משפט 3: פילוגיות כפל מטריצות משמאל מעל חיבור, אם המטריצות
A
B
,
A
C
{\displaystyle AB,AC}
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
{\displaystyle A(B+C)=AB+AC}
הוכחה:
[
A
(
B
+
C
)
]
i
j
=
∑
l
=
1
m
a
i
l
(
b
l
k
+
c
l
k
)
=
∑
l
=
1
m
a
i
l
b
l
k
+
a
i
l
c
l
k
=
∑
l
=
1
m
a
i
l
b
l
k
+
∑
l
=
1
m
a
i
l
c
l
k
=
[
A
B
]
i
j
+
[
A
C
]
i
j
=
[
A
B
+
A
C
]
i
j
{\displaystyle \left[A\left(B+C\right)\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}\left(b_{lk}+c_{lk}\right)=\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}b_{lk}+a_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}b_{lk}+\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}c_{lk}=\left[AB\right]_{ij}+\left[AC\right]_{ij}=\left[AB+AC\right]_{ij}}
משפט 4: פילוגיות כפל מטריצות מימין מעל חיבור, אם המטריצות
A
C
,
B
C
{\displaystyle AC,BC}
(
A
+
B
)
C
=
A
C
+
B
C
{\displaystyle (A+B)C=AC+BC}
הוכחה:
[
(
A
+
B
)
C
]
i
j
=
∑
l
=
1
m
(
a
i
l
+
b
i
l
)
c
l
j
=
∑
l
=
1
m
a
i
l
c
l
j
+
b
i
l
c
l
k
=
∑
l
=
1
m
a
i
l
c
l
j
+
∑
l
=
1
m
b
i
l
c
l
j
=
[
A
C
]
i
j
+
[
B
C
]
i
j
=
[
A
C
+
B
C
]
i
j
{\displaystyle \left[\left(A+B\right)C\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\left(a_{il+b_{il}}\right)c_{lj}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}c_{lj}+b_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}c_{lj}+\sum _{l=1}^{m}\ b_{il}c_{lj}=\left[AC\right]_{ij}+\left[BC\right]_{ij}=\left[AC+BC\right]_{ij}}
אם מטריצה
A
∈
M
m
×
n
{\displaystyle A\in M_{m\times n}}
I
m
{\displaystyle I_{m}}
I
m
∗
A
=
A
{\displaystyle I_{m}*A=A}
אם מטריצה
A
∈
M
m
×
n
{\displaystyle A\in M_{m\times n}}
A
∗
I
n
=
[
A
e
1
,
.
.
,
A
e
n
]
=
[
C
1
,
.
.
.
,
C
n
]
=
A
{\displaystyle A*I_{n}={\begin{bmatrix}Ae_{1},..,Ae_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{1},...,C_{n}\end{bmatrix}}=A}
[ עריכה ] מטריצת האפס כפול כל מטריצה תיתן את מטריצת האפס (אם פעולת הכפל בין המטריצה למטריצת ה-
0
{\displaystyle 0}
אם בשורה ה-
i
{\displaystyle i}
תהי
A
=
[
1
2
0
0
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}}
B
=
[
1
1
1
1
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}}
[
1
2
0
0
]
[
1
1
1
1
]
=
[
3
3
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&3\\0&0\end{bmatrix}}}
ימין ) לעומת זאת,
[
1
1
1
1
]
[
1
2
0
0
]
=
[
1
2
1
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}}}
שמאל לא מניבה מטריצה עם שורת אפסים!) מכאן שאסוציאטיביות אינה תכונה קיימת בכפל של שתי מטריצות. אם בעמודה ה-
j
{\displaystyle j}
![{\displaystyle \left[\left(AB\right)C\right]_{ij}=\sum _{k=1}^{p}\ \left[AB\right]_{ik}c_{kj}=\sum _{k=1}^{p}\left(\sum _{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}\ \right)c_{kj}=\sum _{k=1}^{p}\left(\sum _{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}c_{kj}\ \right)=\sum _{l=1}^{n}a_{il}\left(\sum _{k=1}^{p}b_{lk}c_{kj}\ \right)=\ \sum _{l=1}^{n}a_{il}\left[BC\right]_{lj}=\left[A\left(BC\right)\right]_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17dd9f7a6dc5fe027a2c070d98009434aadd15d5)
![{\displaystyle \left[A\left(B+C\right)\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}\left(b_{lk}+c_{lk}\right)=\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}b_{lk}+a_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}b_{lk}+\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}c_{lk}=\left[AB\right]_{ij}+\left[AC\right]_{ij}=\left[AB+AC\right]_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a51994da43565886d17a63eb786af9546f5333)
![{\displaystyle \left[\left(A+B\right)C\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\left(a_{il+b_{il}}\right)c_{lj}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}c_{lj}+b_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}c_{lj}+\sum _{l=1}^{m}\ b_{il}c_{lj}=\left[AC\right]_{ij}+\left[BC\right]_{ij}=\left[AC+BC\right]_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114cfb784f260ffa78e35bfae42f60ec795cede1)
