מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הגדרה 1: מטריצה של מערכת משוואות לינאריות ב־
n
{\displaystyle n}
נתונה מערכת המשוואות
{
a
11
x
1
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
⋮
a
m
1
x
1
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}}
כאשר מסמנים
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
,
b
=
[
b
1
⋮
b
m
]
,
x
=
[
x
1
⋮
x
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},b={\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}},x={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}
אזי
A
{\displaystyle A}
הגדרה 1: מטריצה מורחבת של מערכת משוואות לינאריות ב־
n
{\displaystyle n}
נתונה מערכת המשוואות
{
a
11
x
1
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
⋮
a
m
1
x
1
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}}
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
b
1
a
21
a
22
⋯
a
2
n
b
2
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
b
m
]
{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right]}
b
{\displaystyle b}
דוגמה 1: מטריצה מורחבת
נתונה מערכת המשוואות הבאה:
2
x
1
+
x
2
=
10
{\displaystyle 2x_{1}+x_{2}=10}
x
1
−
x
2
=
5
{\displaystyle x_{1}-x_{2}=5}
אזי המטריצה
[
2
1
1
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix}}}
המטריצה המורחבת הנה
[
2
1
10
1
−
1
5
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{rr|r}2&1&10\\1&-1&5\end{array}}\right]}
טענה 1: כל וקטור ניתן לרשום כמטריצה
ניתן לרשום את הווקטור
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
[
x
1
⋮
x
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}
גודלה של מטריצה תלוי במספר השורות והעמודות. לדוגמא, המטריצה
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
נהוג לסמן מטריצה באחת מאותיות האנגלית, לדוגמא,
A
{\displaystyle A}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
A
∈
F
m
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{m\times n}}
A
∈
M
m
×
n
(
F
)
{\displaystyle A\in M_{m\times n}(\mathbb {F} )}
[ עריכה ]
הגדרה 2: סימון רכיבי המטריצה
את האיבר במקום ה
(
i
,
j
)
{\displaystyle (i,j)}
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
דוגמא: במטריצה
(
2
7
5
4
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}}
a
1
,
1
{\displaystyle a_{1,1}}
a
1
,
2
{\displaystyle a_{1,2}}
a
2
,
1
{\displaystyle a_{2,1}}
a
2
,
2
{\displaystyle a_{2,2}}
מקובל לסמן את האבר בשורה באמצעות האינדקס
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
כאשר אנו רוצים לדון על אבר ספציפי במטריצה, נסמנו
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
a
11
{\displaystyle a_{11}}
[
10
2
3
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}10&2\\3&4\end{bmatrix}}}
10
{\displaystyle 10}
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3de0290bdaff42452a9712f0c9f4bd23ad1c73a)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{rr|r}2&1&10\\1&-1&5\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9dd75e515afe1e12280e379d024be1ceeb0b23)
