אלגברה לינארית/דטרמיננטה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

הגדרה 1: פונקציה לינארית מתחלפת

פונקציה n־לינארית (נסמן את הפונקציה ב־ מאחר שבהמשך נראה כי היא מייצגת את הדטרמיננטה של המטריצה) נקראת מתחלפת כאשר לכל מטריצה שיש לה שתי עמודות סמוכות זהות מתקיים .


הגדרה 2: פונקציה לינארית מתחלפת מנורמלת

פונקציה ־לינארית מתחלפת נקראת מנורמלת כאשר .

הערה: כאשר הפונקציה המוגדרת על־ידי כלומר היא 1־לינארית מתחלפת (באופן ריק) ומנורמלת.



משפט 1: פונקציה ־לינארית, מתחלפת ומנורמלת גוררת פונקציה לינארית, מתחלפת ומנורמלת

אם פונקציה ־לינארית, מתחלפת ומנורמלת, מוגדרת באופן הבא: עבור נגדיר

כאשר היא מטריצה המתקבלת מ־ על־ידי מחיקת השורה ה־ והעמודה ה־. אז היא פונקציה ־לינארית, מתחלפת ומנורמלת.

הוכחה

נוכיח כי היא פונקציה ־לינארית:

נראה כי לכל הפונקציה היא פונקציה ־לינארית.

[ היא פונקציה ־לינארית, כלומר לינארית לפי כל אחת מעמודות מטריצה . עמודות מטריצה הן עמודות המטריצה המקורית , לאחר מחיקת העמודה ה־]

מאחר ש־ פונקציה ־לינארית, כפונקציה של לינארית לפי כל העמודות פרט לעמודה ה־.

[עתה כשכופלים את בסקלר , כך שנקבל , כל הביטוי עדין לינארי פרט לעמודה ה־, מאותה סיבה שהוזכרה לעיל]

לכן גם לינארית לפי כל העמודות פרט לעמודה ה־.

[על כן בכפל בין ההשפעה על העמודה ה־ תלויה לחלוטין בסקלר , כלומר במטריצה , ובמדויק – בפונקציה לינארית לפי העמודה ה־ ב־]

לכן כפונקציה של לינארי לפי העמודה ה־, ומכאן לינארי לפי העמודה ה־.

על כן היא ־לינארית לכל . מאחר שצירוף לינארי של פונקציות ־לינאריות הוא פונקציה ־לינארית, אנו מסיקים כי גם היא ־לינארית.

נוכיח כי היא מתחלפת

תהימטריצה כך שהעמודה ה-k של זהה לעמודה ה -k+1 של.

צ"ל: שלהוא אפס.

[בהוכחה נעזר בעבודה שהפונקציהמתחלפת כלומר אם מפעיליםעל מטריצה אם שתי עמודות סמוכות שוות מתקבלות אפס.

נתבונן על הוא סכום שבכל מחובר יששמופעל על מטריצות שונות. תחת ההנחה של-A יש שתי עמודות סמוכות שוות, mנוכל להסיק כי , בהתאם לאיזה עמודה גדולה במטריצה ה-A, דהיינו, אם יש לנו שתי עמודות שוות, ו-,

והורדנו עמודה אחרת פרט לעמודה אלו, במטריצה שתשאר יהיו שתי עמודות שוות כלומר אם מורידים שאינו נקבל שתי עמודות שוות נרשום זאת:]

לכל פרט ל-במטריצה יהיו שתי עמודות סמוכות שוות ולכן

[עתה עלינו להראות מה קורה כאשר מורידים את העמודה ה-. לבנתים נוכל לומר כי כל המחוברים פרט לאלו התלוים בעמודות ה-k,k+1מתאפסים ונותרים שני מחוברים התלוים בעמודות אלו:]

מאחר ש- וגם אנו מסיקים כי כלומר מתחלפת.

דוגמה:

נוכיח כי היא מנורמלת

צ"ל: כלומר לבחון מה קורה כאשר.

אם אז כל פעם ש- (כפל עם מטריצת היחידה).

לכן

מאחר ש- (הורדנו ממטריצת יחידה עמודה ושורה) ניתן להסיק כי כלומר מנורמלת.

דוגמה:

תהי

היא לינארית, מתחלפת ומנורמלת.

דוגמון: נבחר

נחשב את ו-:

[למעשה הסברנו איך מבצעים דטרמיננטה באמצעות הורדת שורה ועמודה על מטריצה 2x2 ובמקרה זה נותר רק איבר אחד לאחר ביצוע ההורדה:]

(דוגמאות יישומיות ראה בחישוב דטרמיננטה לפי נוסחת לפלס (מינורים))

מסקנה: לכל n קיימת פונקציה , n לינארית מתחלפת ומנורמלת.

נוכיח כי קיימת פונקציה יחידה כזו באמצעות הטענות הבאות.


טענה 1: בעת החלפת שורות בעת דירוג מטריצה דטרמיננטה של מינוס המטריצה המקורית.

נתונה , לינארית מתחלפת ומנורמלת, ומטריצה כך שהעמודה ה- של היא כלומר

צ"ל: אם מתקבלת מ- על ידי החלפה של העמודה ה- עם העמודה ה-, כלומר אז

הוכחה: נגדיר מטריצות כאשר החלפנו בה עמודות צמודות בין :

אזי (ע"פ ההגדרה 1 של פונקציה לינארית מתחלפת)

נחבר את שתי המטריצות לעיל ונקבל,

אזי

צ"ל להוכיח נסמנה

אזי

אזי

מאחר ש- כלומר אזי

נוכיח את הטענה לכל החלפה של עמודות כלומר אם מתקבלת מ- על ידי החלפה של העמודה ה- עם העמודה ה-, כלומר אז :

נבצע החלפה בין שתי שורות צמודות שוב ושוב:

צ"ל להוכיח נסמנה

לפי טענת העזר הראשונה מתקיים כי ולכן נסיק כי


טענה 2: אם במטריצה יש שתי עמודות זהות , אזי .

נגדיר מטריצה אז .

נבצע החלפת שורות. לפי טענה מתקיים


טענה 3: אם מטריצה אינה הפיכה אז

מאחר ש-מטריצה Aאינה הפיכה, למערכת המשוואות Ax=0קיים פתרון לא טריוויאלי.

לכן ת"ל כלומר קיים כך ש-

כאשר

נגדיר מטריצות :

אזי

אזי

אזי

אזי

אזי

מאחר שלינארי ובפרט לפי עמודה נקבל


טענה 4: אם מתקבלת מ- על ידי פעולות אלמנטריות אז

נגדיר מטריצות:

אזי


טענה 5: אם מתקבלת מ- על ידי פעולות אלמנטריות אז

נגדיר מטריצות:

אזי


טענה 6: דטרמיננטה של פעולות אלמנטריות (החלפה, כפל וחיבור)

תהי מטריצה של פעולה אלמנטרית היא

נוכיח כי דטרמיננטה הכפלה על מטריצה יחידה:

הכפלה בקבוע: תהי הפעולה האלמנטרית אז

החלפת שורה: תהי הפעולה האלמנטרית אז

הוספה של קבועה: תהי הפעולה האלמנטרית אז

נזכיר: אם היא פעולת עמודה אלמנטרית אז

נוכיח כי דטרמיננטה הכפלה על מטריצה יחידה נכונה לכל מטריצה:

תהי היא פעולת עמודה אלמנטרית כך ש- אז

הכפלה בקבוע: אם אזי מלינאריות ומטענה נקבל :

החלפת שורה: אם אזי מטענה ומטענה נקבל :

הוספה של קבועה: אם אזי מטענה ומטענה נקבל:

(לדוגמה פרקטית ראה חישוב דטרמיננטה באמצעות דירוג


משפט 2: לכל n קיימת פונקציה , n לינארית מתחלפת ומנורמלת יחידה

צ"ל: אם פונקציות לינאריות, מתחלפות ומנורמלות אז לכל מטריצה

נחלק למקרים:

  • אם אינה הפיכה אז
  • אם הפיכה אז קיימות מטריצות אלמנטריות כך ש-

לפי טענת נקבל

נמשיך ככה באינדוקציה ונקבל

בדומה מתקיים ש-

לפי טענה 5: לכל לכן נקבל במילים אחרות,

על כן הוכחנו ייחודיות: לכל קיימת פונקציה n לינארית מתחלפת מנורמלת יחידה. פונקציה זו נקראת דטרמיננטה ומסומנת