אלגברה לינארית/סוגי מטריצות

הגדרה 1: מטריצות שוות

שתי מטריצות ייקראו ”שוות” אם הגדלים שלהן שווים וגם מתקיים $\forall \ i,j:a_{ij}=b_{ij}$ ונסמן $A=B$ . כלומר, הגדלים שלהן שווים וגם כל סקלר.

הגדרה 2: מטריצת יחידה

מטריצת היחידה (סימון: $I_{n}$ ) היא מטריצה ריבועית $n\times n$ שאלכסונה הראשי מורכב מאחדות וכל שאר המטריצה מאפסים.

I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}

הגדרה 2.2: מטריצת היחידה

מטריצת היחידה מסדר $n$ , תסומן כ $I_{n}\in M_{n,n}(\mathbb {F} )$ , ומוגדרת כך: $I_{n}=[\delta _{ij}]_{n\times n}$ , כאשר $\delta _{ij}={\begin{cases}1,i=j\\0,i\not =j\\\end{cases}}$

משפט 5: מטריצת היחידה ניטרלית ביחס לכפל מטריצות, כלומר מתקיים $AI_{n}=I_{n}A=A$

הוכחה: $\left[AI_{n}\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}\delta _{lj}=a_{i1}\delta _{1j}+a_{i2}\delta _{2j}+....+a_{ij}\delta _{jj}+....=a_{i1}\cdot 0+a_{i2}\cdot 0+....+a_{ij}\cdot 1+....=a_{ij}$

$\left[I_{n}A\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\ \delta _{il}a_{lj}=\delta \ _{i1}a_{1j}+\delta \ _{i2}a_{2j}+\delta \ _{i3}a_{3j}...+\delta \ _{ii}a_{ij}+...=0\cdot a_{1j}+0\cdot a_{1j}+0\cdot a_{1j}+...+1\cdot a_{ij}+...=a_{ij}$

הגדרה 3: מטריצה משולשית עליונה

מטריצה משולשית עליונה היא מטריצה ריבועית $n\times n$ כך שלכל $1\leq i\leq j\leq n$ מתקיים $A_{ij}=0$ . כלומר כל האברים שמתחת לאלכסון הראשי שווים לאפס וניתן ליצוג כך:

U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}

הגדרה 4: מטריצה משולשית תחתונה

מטריצה משולשית תחתונה היא מטריצה $n\times n$ כך שלכל $1\leq j\leq i\leq n$ מתקיים $A_{ij}=0$ . כלומר כל האברים שמעל האלכסון הראשי שווים לאפס וניתנת ליצוג כך: