אלגברה לינארית/דרגה של מטריצה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש


הגדרה 1: דרגת העמודות של מטריצה

דרגת עמודות מוגדר להיות ממד מרחב העמודות שלה, כלומר, המספר המקסימלי של וקטורי עמודה בלתי תלויים ליניארית מבין עמודות המטריצה.


הגדרה 1: דרגה של מטריצה (דרגת שורות)

תהי עם מקדמים ב. נסמן ב את העמודה ה של .

נגדיר את הדרגה של כ .

במילים אחרות, דרגת שורות של מטריצה היא מספר השורות שאינן 0 בצורה המדורגת קנונית שלה.


הגדרה 2: דרגה של העתקה

אם מוגדרת ע"י לכל אז

ולכן .



משפט 1:

כיון שפעולת שורה לא משנה את מרחב השורות.



משפט 3:

יהיו מ"ו מעל נוצרים סופית. בסיסים של בהתאמה, ו- ה"ל.

אז .


הוכחה:
נגדיר את קיום העתקה

נסמן ו , אז .

כאשר ו .

הוא תת מרחב של .

נגדיר ע"ׁי .

מאחר ש- חח"ע (תת מרחב של הוא תוצר )

נוכיח כי :

יהי ונראה כי אמ"מ .

אז אמ"מ קיים כך ש אמ"מ קיים כך ש

אמ"מ קיים כך ש אמ"מ כך ש אמ"מ .

לפי משפט המימדים עבור אנו מקבלים


מש"ל.PNG



משפט 3: משפטים על מטריצה ריבועית

תהי A מטריצה ריבועית אז התנאים הבאים שקולים:

  • A הפיכה
  • לכל , למערכת קיים פתרון והוא יחיד

דוגמה[עריכה]

העמודה השלישית תלויה לינארית בעמודה הראשונה והשניה ועל כן דרגת העמודות היא 2