אלגברה לינארית/דרגה של מטריצה

הגדרה 1: דרגת העמודות של מטריצה $(dimC)$ דרגת עמודות מוגדר להיות ממד מרחב העמודות שלה, כלומר, המספר המקסימלי של וקטורי עמודה בלתי תלויים ליניארית מבין עמודות המטריצה.

הגדרה 1: דרגה של מטריצה $(r_{k}A)$ (דרגת שורות) תהי $A\in M_{m\times n}$ עם מקדמים ב$\mathbb {F}$. נסמן ב $v_{j}$ את העמודה ה$j$ של $A$. נגדיר את הדרגה של $A$ כ $r_{k}A=\dim span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$. במילים אחרות, דרגת שורות של מטריצה היא מספר השורות שאינן 0 בצורה המדורגת קנונית שלה. $r(A)=\dim R(A)=\dim C(A)=n-\dim N(A)$

הגדרה 2: דרגה של העתקה $(rkT_{A})$ אם $T_{A}:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} ^{m}$ מוגדרת ע"י $T_{A}x=Ax$ לכל $x\in \mathbb {F} ^{n}$ אז $imgT_{A}=span\left(T_{A}\left(e_{1}\right),..,T_{A}\left(e_{n}\right)\right)=span\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ ולכן $rkT_{A}=rkA$.

משפט 1: $r(AB)\leq \min\{r(A),r(B)\}$ כיון שפעולת שורה לא משנה את מרחב השורות.

משפט 3: $rkT=rkA$ יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ נוצרים סופית. $B,C$ בסיסים של $V,W$ בהתאמה, ו-$T:V\to W$ ה"ל. $A=\left[T\right]_{C}^{B}$ אז $rkT=rkA$. הוכחה: נגדיר את קיום העתקה $T$ נסמן $\dim V=n$ ו $\dim W=m$, אז $T_{A}\circ S_{B}=S_{C}\circ T$. כאשר $S_{B}\left(v\right)=\left[v\right]_{B}$ ו$S_{C}\left(w\right)=\left[w\right]_{C}$ . $imgT$ הוא תת מרחב של $W$. נגדיר $S_{C}':imgT\to \mathbb {F} ^{m}$ ע"ׁי $S_{C}'\left(w\right)=S_{C}\left(w\right)$. מאחר ש-$\ker S_{C}'=0)S_{C}'$ חח"ע (תת מרחב של $\mathbb {F} ^{m}$ הוא תוצר $T_{A}$) נוכיח כי $imgS_{C}'=imgT_{A}$: יהי $y\in \mathbb {F} ^{m}$ ונראה כי $y\in imgS_{C}'$ אמ"מ $y\in ImT_{A}$. אז $y\in imgS_{C}'$ אמ"מ קיים $w\in imgT$ כך ש $S_{C}'\left(w\right)=y$ אמ"מ קיים $v\in V$ כך ש $S_{C}'\left(T\left(v\right)\right)=y$ אמ"מ קיים $v\in V$ כך ש$T_{A}\left(S_{B}\left(v\right)\right)=y$ אמ"מ $x\in \mathbb {F} ^{n}$ כך ש $T_{A}\left(x\right)=y$ אמ"מ $y\in imgT_{A}$. לפי משפט המימדים עבור $S_{C}'$ אנו מקבלים $rkT=dim\ imgT=dim\ker S_{C}'+dim\ imgS_{C}'=0+dimT_{A}=rkT_{A}=rkA$

משפט 3: משפטים על מטריצה ריבועית תהי A מטריצה ריבועית אז התנאים הבאים שקולים: $r(A)=n$ A הפיכה לכל $b\in \mathbb {F} ^{n}$ , למערכת $Ax=b$ קיים פתרון והוא יחיד $N(A)=\{0\}$ $C(A)=\mathbb {F} ^{n}$

דוגמה

${\begin{bmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{bmatrix}}$

העמודה השלישית תלויה לינארית בעמודה הראשונה והשניה ועל כן דרגת העמודות היא 2