הגדרה 1: מרחב וקטורי (ובקיצור מ"ו) מעל שדה 
יהי שדה אזי קבוצת וקטורים נקראת מרחב וקטורי מעל אותו שדה כאשר מוגדרות הפעולות:
- חיבור וקטורים:

- כפל וקטור בסקלר:

ומתקיימות האקסיומות:
- חוק חילוף לחיבור וקטורים:

- חוק הקיבוץ לחיבור וקטורים:

- קיום איבר ניטרלי
כך ש- .
- קיום איבר נגדי - לכל

- קיבוץ כפלי -

- קיום מספר ניטרלי לכפל -

- פילוג של וקטורים -

- פילוג של סקלרים -

- חילוף כפל וכפל מטריצות לא קיים במרחב הווקטורי, כלומר
קיים אך אין מהות ל-
- לא קיים ווקטור הופכי כך שיתקיים ש-

אם כל התנאים שלעיל מתקיימים, אומרים ש- הוא מרחב וקטורי מעל , ביחס לפעולות ,
|
סימונים:
- אברי
יקראו "וקטורים", ואברי
ייקראו "סקלרים". בדרך כלל, וקטורים יסומנו באותיות אנגליות, וסקלרים באותיות יווניות.
- הפעולה
תיקרא "חיבור וקטורים", והפעולה
תיקרא "כפל בסקלר".
- בדרך-כלל, לא נכתוב
, אלא
, או שנשמיט את הסימן הזה לגמרי, ובמקום
נכתוב +, כאשר ההבחנה בין
ל-
, וההבחנה בין
ל-
תתבצענה לפי האיברים שהפעולה מקבלת.
- הנייטרלי מימין לחיבור,
, שנראה בהמשך שהוא יחיד, יסומן לפעמים
, ולפעמים סתם 0, כאשר ההבחנה בינו ובין
, תהיה ע"פ הפעולות שמקבלות אותו. (לפעמים יש מקרים בהם אי-אפשר להבחין, ואז עדיף לסמן)
- בגלל תכונות הקיבוץ, אם יש רק חיבור וקטורים, או רק כפל וכפל בסקלר, נשמיט את הסוגריים.
- אם יש גם חיבור וקטורים וגם כפל בסקלר, ואין סוגריים, הכוונה לבצע קודם את הכפל בסקלר, ואחר-כך, את חיבור הווקטורים.
- יחידות הנייטרלי: אם
שניהם נייטרליים מימין לחיבור וקטורים, אזי a=b.
- הוכחה:

- נייטרליות משמאל:
- הוכחה:

- יחידות הנגדי: יהי
, ויהיו c,b נגדיים מימין ל- a. אזי b=c
- הוכחה:

סימון: יהיו
, הנגדי מימין ל- a (שהוכח לעיל שהוא יחיד) יסומן ב-
, ו-
יסומן ב-
- נגדיות משמאל: יהי
, אזי
- הוכחה:

- סימטריות הנגדי: לכל
,
- הוכחה: ע"פ הנגדיות משמאל,
, לכן, ע"פ הגדרת הנגדי, 
- איפוס הכפל באפס: יהי
, אזי
. הוכחה:


- שימור הנגדי ע"י הכפל בסקלר: יהיו
, אזי
. הוכחה:
, לכן, לפי הגדרת הנגדי, 
, לכן, לפי הגדרת הנגדי, 
- אין מחלקי אפס: לכל
, אם
, אז
או
- הוכחה: נניח
, אזי 
דוגמאות למרחבים ווקטורים
[עריכה]
מרחב וקטורי של ווקטורים (
)
[עריכה]
מרחב הווקטורים מעל שדה הוא מרחב ווקטורי :
מפני שמקיים:
- חיבור בין איברים:

- כפל בקבוע

מרחב ווקטורי של מטריצות 
[עריכה]
יהי
נגדיר
- קבוצת המטריצות בעלות
שורות ו-
עמודות עם מקדמים מ-
כך שיווצר מרחב וקטורי של מטריצות :
מפני שמקיים:
- סגירות לחיבור:

- סגירות לכפל:

מרחב וקטורי אינסופי 
[עריכה]
מרחב וקטורי אינסופי הוא מרחב ווקטורי:
- סגירות לחיבור:

- סגירות לכפל:

מרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים ![{\displaystyle (\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f983b75dfa978a27953ec156e72651a7d0808f4)
[עריכה]
מרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים
- סגירות לחיבור:

- סגירות לכפל:

מרחב ווקטורי של פולינומים פורמליים ![{\displaystyle (\mathbb {F} \left[x\right])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5df71bad3bbf4752aefa1345b1f5a5fe8122bf)
[עריכה]
מרחב ווקטורי של פולינומים פורמליים
פירושו שהמקדם הראשי שונה מ-0. כל האיברים מתוך השדה. מאחר שלפי ההגדרה האיבר
אינו פולינום כי
, הוא נוסף ב"כח" אל המרחב 
- דוגמאות לפולינומים:
וכו'.
- כל פולינום הינו גם טור חזקות, מפני שניתן לכתוב פולינום כתור,
לכן קבוצת הפולינומים מוכלת בקבוצת טורי החזקות: ![{\displaystyle \mathbb {F} \left[x\right]\subset \mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8553ab135949bfc58c726c4b85d369cc6b930f)
- סיגורת חיבור וכפל של פולינומים הן אותן פעולות כמו של טורי החזקות.
הוא מרחב וקטורי מעל
, כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הבאה: 
- באופן כללי, לכל שדה
וטבעי n,
הוא מרחב וקטורי מעל
, כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הבאה: