אלגברה לינארית/מרחבים וקטוריים

הגדרה

הגדרה 1: מרחב וקטורי (ובקיצור מ"ו) מעל שדה $\mathbb {F}$ יהי שדה $\mathbb {F}$ אזי קבוצת וקטורים $V$ נקראת מרחב וקטורי מעל אותו שדה $\mathbb {F}$ כאשר מוגדרות הפעולות: חיבור וקטורים: $+:V\times V\to V$ כפל וקטור בסקלר: $*_{\mathbb {F} V}:\mathbb {F} \times V\to V$ ומתקיימות האקסיומות: חוק חילוף לחיבור וקטורים: $\forall u,w\in V\ u+w=w+u$ חוק הקיבוץ לחיבור וקטורים: $\forall u,w\in V\ u+(v+w)=(u+v)+w$ קיום איבר ניטרלי $0\in V$ כך ש-$\forall u,w\in V\ 0+v=v$ . קיום איבר נגדי - לכל $\forall v\in V\exists u\in V\ u+v=0$ קיבוץ כפלי - $\forall v,u\in V,a,b\in \mathbb {F} :\ \ a\left(b\cdot v\right)=\left(a\cdot b\right)v$ קיום מספר ניטרלי לכפל - $v,u\in V1\cdot v=v$ פילוג של וקטורים - $\forall v\in V,a\in \mathbb {F} :\ a\left(u+v\right)=au+av$ פילוג של סקלרים - $\forall v,u\in V,a,b\in \mathbb {F} :\ \ \left(a+b\right)v=av+bv$ חילוף כפל וכפל מטריצות לא קיים במרחב הווקטורי, כלומר $\forall a\in \mathbb {F} \ v\in V\ av$ קיים אך אין מהות ל-$va$ לא קיים ווקטור הופכי כך שיתקיים ש-$v*{\frac {1}{v}}=1$ אם כל התנאים שלעיל מתקיימים, אומרים ש- $V$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb {F}$ , ביחס לפעולות $+_{V}$ , $*_{\mathbb {F} V}$

סימונים:

1. אברי $V$ יקראו "וקטורים", ואברי $\mathbb {F}$ ייקראו "סקלרים". בדרך כלל, וקטורים יסומנו באותיות אנגליות, וסקלרים באותיות יווניות.
2. הפעולה $+_{V}$ תיקרא "חיבור וקטורים", והפעולה $*_{\mathbb {F} V}$ תיקרא "כפל בסקלר".
3. בדרך-כלל, לא נכתוב $*_{\mathbb {F} V}$ , אלא $\cdot$ , או שנשמיט את הסימן הזה לגמרי, ובמקום $+_{V}$ נכתוב +, כאשר ההבחנה בין $*_{\mathbb {F} V}$ ל- $*_{\mathbb {F} }$ , וההבחנה בין $+_{V}$ ל- $+_{\mathbb {F} }$ תתבצענה לפי האיברים שהפעולה מקבלת.
4. הנייטרלי מימין לחיבור, $0_{V}$ , שנראה בהמשך שהוא יחיד, יסומן לפעמים ${\vec {0}}$ , ולפעמים סתם 0, כאשר ההבחנה בינו ובין $0_{\mathbb {F} }$ , תהיה ע"פ הפעולות שמקבלות אותו. (לפעמים יש מקרים בהם אי-אפשר להבחין, ואז עדיף לסמן)
5. בגלל תכונות הקיבוץ, אם יש רק חיבור וקטורים, או רק כפל וכפל בסקלר, נשמיט את הסוגריים.
6. אם יש גם חיבור וקטורים וגם כפל בסקלר, ואין סוגריים, הכוונה לבצע קודם את הכפל בסקלר, ואחר-כך, את חיבור הווקטורים.

תכונות

• יחידות הנייטרלי: אם $a,b\in V$ שניהם נייטרליים מימין לחיבור וקטורים, אזי a=b.
  • הוכחה: $a=a+b=b+a=b$
• נייטרליות משמאל: $\forall a\in V:{\vec {0}}+a=a$
  • הוכחה: ${\vec {0}}+a=a+{\vec {0}}=a$
• יחידות הנגדי: יהי $a\in V$, ויהיו c,b נגדיים מימין ל- a. אזי b=c
  • הוכחה: $b=b+{\vec {0}}=b+a+c=a+b+c={\vec {0}}+c=c$

סימון: יהיו $a,b\in V$ , הנגדי מימין ל- a (שהוכח לעיל שהוא יחיד) יסומן ב- $-a$ , ו-$b+-a$ יסומן ב- $b-a$

• נגדיות משמאל: יהי $a\in V$, אזי $-a+a={\vec {0}}$
  • הוכחה: $-a+a=a+-a={\vec {0}}$
• סימטריות הנגדי: לכל$a\in V$ , $-(-a)=a$
  • הוכחה: ע"פ הנגדיות משמאל, $-a+a={\vec {0}}$, לכן, ע"פ הגדרת הנגדי, $-(-a)=a$
• איפוס הכפל באפס: יהי $a\in V\ ,\ \alpha \in \mathbb {F}$, אזי $\alpha {\vec {0}}=0a={\vec {0}}$ . הוכחה:
  • $0a=0a+{\vec {0}}=0a+(0a+-(0a))=(0+0)a+-(0a)=0a+-(0a)={\vec {0}}$
  • $\alpha {\vec {0}}=\alpha {\vec {0}}+{\vec {0}}=\alpha {\vec {0}}+\alpha {\vec {0}}+-(\alpha {\vec {0}})=\alpha ({\vec {0}}+{\vec {0}})+-(\alpha {\vec {0}})=\alpha {\vec {0}}+-(\alpha {\vec {0}})={\vec {0}}$
• שימור הנגדי ע"י הכפל בסקלר: יהיו $a\in V\ ,\ \alpha \in \mathbb {F}$ , אזי $(-\alpha )a=\alpha (-a)=-(\alpha a)$ . הוכחה:
  • $\alpha a+(-\alpha )a=(\alpha +-\alpha )a=0a={\vec {0}}$ , לכן, לפי הגדרת הנגדי, $-(\alpha a)=(-\alpha )a$
  • $\alpha a+\alpha (-a)=\alpha (a+-a)=\alpha {\vec {0}}={\vec {0}}$ , לכן, לפי הגדרת הנגדי, $-(\alpha a)=\alpha (-a)$
• אין מחלקי אפס: לכל $\alpha \in \mathbb {F} ,a\in V$ , אם $\alpha a={\vec {0}}$ , אז $\alpha =0$ או $a={\vec {0}}$
  • הוכחה: נניח $\alpha \neq 0,\alpha a={\vec {0}}$ , אזי $a=1a=\alpha ^{-1}\alpha a=\alpha ^{-1}{\vec {0}}={\vec {0}}$

דוגמאות למרחבים ווקטורים

מרחב וקטורי של ווקטורים ($\mathbb {F} ^{n}$)

מרחב הווקטורים מעל שדה הוא מרחב ווקטורי :$V=\mathbb {F} ^{n}=\left\{\left(x_{1},x_{2},..,x_{n}\right)\mid x_{i}\in \mathbb {F} ,\forall \ 1\leq i\leq n\right\}$ מפני שמקיים:

1. חיבור בין איברים: $v\in V:\left(x_{1},...,x_{n}\right)+\left(y_{1},...,y_{n}\right)=\left(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n}\right)$
2. כפל בקבוע $a\in \mathbb {F} :a\left(x_{1},...,x_{n}\right)=\left(ax_{1},...,ax_{n}\right)$

מרחב ווקטורי של מטריצות $\left(\mathbb {F} \right)$

יהי $n,m\in \mathbb {N}$ נגדיר $V=M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ - קבוצת המטריצות בעלות $m$ שורות ו-$n$ עמודות עם מקדמים מ-$\mathbb {F}$ כך שיווצר מרחב וקטורי של מטריצות :$M_{m\times n}=\left(\mathbb {F} \right)=\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}\mid a_{ij}\in \mathbb {F} ,\forall 1\leq i\leq m,\forall 1\leq j\leq n\right\}.$ מפני שמקיים:

1. סגירות לחיבור:${\begin{bmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&...&b_{1n}\\\vdots &&\vdots \\b_{m1}&\dots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&...&a_{1n}+b_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&\dots &a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}}$
2. סגירות לכפל:$c\cdot {\begin{bmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ca_{11}&...&ca_{1n}\\\vdots &&\vdots \\ca_{m1}&\dots &ca_{mn}\end{bmatrix}}$

מרחב וקטורי אינסופי $(\mathbb {F} ^{\infty })$

מרחב וקטורי אינסופי הוא מרחב ווקטורי: $V=\mathbb {F} ^{\infty }\left[\left(x_{1},x_{2},x_{3},...\right)\mid x_{i}\in \mathbb {F} \right]$

1. סגירות לחיבור: $\left(x_{1},x_{2},...\right)+\left(y_{1},y_{2},...\right)=\left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...\right)$
2. סגירות לכפל:$c\cdot \left(x_{1},x_{2},...\right)=\left(cx_{1},cx_{2},...\right)$

מרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים $(\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right])$

מרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים $\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]=\left\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...|a_{i}\in \mathbb {F} \right\}$

1. סגירות לחיבור:$\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...\right)+\left(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...\right)=\left(\left(a_{0}+b_{0}\right)+\left(a_{1}+b_{1}\right)x+\left(a_{2}+b_{2}\right)x^{2}+...\right)$
2. סגירות לכפל:$c\cdot \left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...\right)=\left(ca_{0}+ca_{1}x+ca_{2}x^{2}+...\right)$

מרחב ווקטורי של פולינומים פורמליים $(\mathbb {F} \left[x\right])$

מרחב ווקטורי של פולינומים פורמליים $\mathbb {F} \left[x\right]=\left\{a_{0}+a_{1}x+...a_{n}x^{n}|n\in \mathbb {N} \cup \left\{0\right\},\,a_{i}\in \mathbb {F} ,\,a_{n}\neq 0\right\}\cup \left\{0\right\}$

• $a_{n}\neq 0$ פירושו שהמקדם הראשי שונה מ-0. כל האיברים מתוך השדה. מאחר שלפי ההגדרה האיבר $0_{f}$ אינו פולינום כי $a_{n}\neq 0$, הוא נוסף ב"כח" אל המרחב $\cup \left\{0\right\}$
• דוגמאות לפולינומים: $0+2x+2x^{2},3$ וכו'.
• כל פולינום הינו גם טור חזקות, מפני שניתן לכתוב פולינום כתור, $a_{0}+a_{1}x+...a_{n}x^{n}=a_{0}+...+a_{n}x^{n}+...+0\cdot x^{n+1}+0\cdot x^{n+2}...$ לכן קבוצת הפולינומים מוכלת בקבוצת טורי החזקות: $\mathbb {F} \left[x\right]\subset \mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]$
• סיגורת חיבור וכפל של פולינומים הן אותן פעולות כמו של טורי החזקות.

דוגמאות נוספות

• $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]^{2}=\{(a,b)|a,b\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ , כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הבאה: $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\ ,\ \alpha (a,b)=(\alpha a,\alpha b)$
• באופן כללי, לכל שדה $\mathbb {F}$ וטבעי n, $\mathbb {F} ^{n}=\{(a_{1},a_{2},...,a_{n})|\forall i:a_{i}\in \mathbb {F} \}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb {F}$ , כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הבאה:

$(a_{1},\ldots ,a_{n})+(b_{1},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})\ ,\ \alpha (a_{1},\ldots ,a_{n})=(\alpha a_{1},\ldots ,\alpha a_{n})$