אלגברה לינארית/מטריצה אלמנטרית

הגדרה 1: מטריצה אלמנטרית תהי $\varepsilon$ פעולת שורה אלמנטרית מבין הפעולות הבאות: $R_{i}\to cR_{i}$ כאשר $c\neq 0$ $R_{i}\to R_{i}=cR_{j}$ כאשר $i\neq j$ $R_{i}\leftrightarrow R_{j}$ מטריצה המתאימה לפעולה האלמנטרית $\varepsilon$ היא המטריצה $E$, המתקבלת ממטריצה $I_{m}$ ע"י ביצוע של $\varepsilon$ עליה.

דוגמה 1: כפל של שורה תהי המטריצה $I_{m}$ ותהי הפעולה האלמנטרית $R_{i}\to cR_{i}$. אז המטריצה האלמנטרית $E={\begin{bmatrix}1\\&c_{i}\\&&1\\&&&\ddots \\&&&&1\end{bmatrix}}$ בצענו שינוי בשורה ה־$i$ על ידי הכפלת המטריצה באותה שורה ב־$c$

טענה 1: תהי מטריצה $A\in M_{m\times n}$ ותהי $\varepsilon$ פעולת שורה אלמנטרית. נסמן ב־$E$ את המטריצה האלמנטרית המתקבלת מ־$I_{m}$ ע"י ביצוע של $\varepsilon$. אז המטריצה המתקבלת מ־$A$ לאחר ביצוע פעולת $\varepsilon$ היא $EA$ תהי המטריצה ${\begin{bmatrix}1&2\\3&7\end{bmatrix}}$ תהי הפעולה האלמנטרית החלפת שורה כך ש- $I_{m}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ והמטריצה האלמנטרית היא $E={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ צ"ל כי $EA$ תניב את אותה מטריצה שתתקבל מביצוע אותה פעולה אלמנטרית, החלפה על $A$ כלומר ${\begin{bmatrix}3&7\\1&2\end{bmatrix}}$ נכפיל את מטריצה $A$ במטריצה האלמנטרית $E$, המתקבלת לאחר הפעלת הפעולה האלמנטרית על מטריצת היחידה ונקבל כי: ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&7\\1&2\end{bmatrix}}$

טענה 2: $R$ היא מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ־$A$ ע"י פעולת שורה אלמנטריות אז קיימת מטריצה $P$ בגודל $m\times n$ אשר מהווה מכפלה של מטריצות אלמנטריות כך ש-$PA=R$. המטריצה המתקבלת מ־$A$ ע"י ביצוע של $\epsilon$ היא $EA$. תהי המטריצה $A={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ אז קיימת מטריצה $P={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ כך שתתקבל מטריצה מדורגת: ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

טענה 3: נתונה מטריצה $A\in M_{m\times n}$. $R$ היא המטריצה המדורגת המצומצמת המתקבלת מ־$A$ ע"י סדרת פעולות שורה אלמנטריות $\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{s}$. $E_{i}$ היא המטריצה המתאימה לכל פעולה אלמנטרית $\varepsilon _{i}$ והמטריצה $P=E_{s}\cdots E_{1}$ אז מתקיים $PA=R$. תהי $E_{1}*I_{3}\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&3&5&1&0&0\\0&1&3&0&1&0\\2&1&2&0&0&1\end{array}}\right]$ נדרג את המטריצה: ${\begin{aligned}E_{2}(E_{1}*I_{3})=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&3&5&1&0&0\\0&1&3&0&1&0\\0&-5&-8&-2&0&1\end{array}}\right]\\E_{3}(E_{2}*E_{1}*I_{3})=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-4&1&-3&0\\0&1&3&0&1&0\\0&0&7&-2&5&1\end{array}}\right]\\E_{3}*(E_{2}*E_{1}*I_{3})=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-4&1&-3&0\\0&1&3&0&1&0\\0&0&1&-{\frac {2}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{array}}\right]\\E_{4}(E_{3}*E_{2}*E_{1}*I_{3})=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{7}}&{\frac {4}{7}}\\0&1&0&{\frac {6}{7}}&-{\frac {8}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\0&0&1&-{\frac {2}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{array}}\right]\end{aligned}}$ אז $E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}=P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{7}}&{\frac {4}{7}}\\{\frac {6}{7}}&-{\frac {8}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {2}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}$