,
ו
.
יהי בסיס של , לכן היא תת קבוצה בת"ל של .
לכן קיימים כך ש מהווה בסיס של .
בדומה קיימים כך ש מהווה בסיס של .
נראה ש מהווה בסיס של .
קבוצה פורשת
יהי , אז קיימים כך שלפי סגירות לחיבור .
מכאן קיימים כך ש בדומה קיימים כך ש
מכאן: ולכן \spn
בת"ל.
יהיו כך ש
אז נעביר אגפים:
נשם לב כי הביטוים משני הצדדים שווים ולכן ניתן לבטא אותם זה באמצעות זה.
, ולכן קיימים כך שנוכל באמצעותם ליצג צירוף לינארי עם ווקטורי הבסיס של את הביטוי באגף השמאלי:
נציב אותו במקום הביטוי מצד ימין:
שזהו בדיוק הבסיס של . מאחר ש בת"ל אנו מסיקים כי
נציב ב * ונקבל:
מאחר ש- בת"ל אז
לפיכך הוכחנו כי הוא בסיס של .
נוכיח את נכונות משפט המימדים:
מספר האיברים ב S שווה ל