לדלג לתוכן

אלגברה לינארית/משפט הממדים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

משפט הממדים

[עריכה]

משפט: יהיו תתי מרחב של מעל שדה . אזי


, ו .

יהי בסיס של , לכן היא תת קבוצה בת"ל של .

לכן קיימים כך ש מהווה בסיס של .

בדומה קיימים כך ש מהווה בסיס של .

נראה ש מהווה בסיס של .

קבוצה פורשת

יהי , אז קיימים כך שלפי סגירות לחיבור .

מכאן קיימים כך ש בדומה קיימים כך ש

מכאן: ולכן \spn בת"ל.

יהיו כך ש

אז נעביר אגפים:

נשם לב כי הביטוים משני הצדדים שווים ולכן ניתן לבטא אותם זה באמצעות זה.

, ולכן קיימים כך שנוכל באמצעותם ליצג צירוף לינארי עם ווקטורי הבסיס של את הביטוי באגף השמאלי:

נציב אותו במקום הביטוי מצד ימין:

שזהו בדיוק הבסיס של . מאחר ש בת"ל אנו מסיקים כי

נציב ב * ונקבל:

מאחר ש- בת"ל אז

לפיכך הוכחנו כי הוא בסיס של .

נוכיח את נכונות משפט המימדים:

מספר האיברים ב S שווה ל

{{{2}}}



הוכחה

נסמן: .

יהי בסיס ל- . אזי בת"ל. כיון שכל בת"ל מוכלת בבסיס, קיימות קבוצות כך ש- בסיס ל- , ו- בסיס ל- .

יהי . אזי קיימים כך ש- . בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים כך ש-

נקבל , כלומר, הוא צ"ל של . לכן, פורשת את .

נניח בשלילה שיש סקלרים, לא כולם אפס כך ש- . נסמן . אזי קיימים סקלרים כך ש-

בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל . באופן דומה, נקבל

נקבל: , ומכך ש- בת"ל, נקבל .

קיבלנו, שכל המקדמים מתאפסים, ולכן, בת"ל.

לכן, בסיס ל- , וכיון ש- נקבל

לכן,