
,

ו

.
יהי
בסיס של
, לכן היא תת קבוצה בת"ל של
.
לכן קיימים
כך ש
מהווה בסיס של
.
בדומה קיימים
כך ש
מהווה בסיס של
.
נראה ש
מהווה בסיס של
.
קבוצה פורשת
יהי
, אז קיימים
כך שלפי סגירות לחיבור
.
מכאן קיימים
כך ש
בדומה קיימים
כך ש
מכאן:
ולכן \spn
בת"ל.
יהיו
כך ש
אז נעביר אגפים:
נשם לב כי הביטוים משני הצדדים שווים ולכן ניתן לבטא אותם זה באמצעות זה.
, ולכן קיימים
כך שנוכל באמצעותם ליצג צירוף לינארי עם ווקטורי הבסיס של
את הביטוי באגף השמאלי:
נציב אותו במקום הביטוי מצד ימין:
שזהו בדיוק הבסיס של
. מאחר ש
בת"ל אנו מסיקים כי
נציב ב *
ונקבל:
מאחר ש-
בת"ל אז
לפיכך הוכחנו כי
הוא בסיס של
.
נוכיח את נכונות משפט המימדים:
מספר האיברים ב S שווה ל
