![{\displaystyle \dim U=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9380e54525217e9fba12c2a94f4c9f381e1e9ca8)
,
![{\displaystyle \dim W=l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3886dd26c2369e6aa1a66055d035732cd0cb9652)
ו
![{\displaystyle \dim U\cap W=m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1eab6ecbc997e6ea76fe991fd61e01fa3c92ba)
.
יהי
בסיס של
, לכן היא תת קבוצה בת"ל של
.
לכן קיימים
כך ש
מהווה בסיס של
.
בדומה קיימים
כך ש
מהווה בסיס של
.
נראה ש
מהווה בסיס של
.
קבוצה פורשת
יהי
, אז קיימים
כך שלפי סגירות לחיבור
.
מכאן קיימים
כך ש
בדומה קיימים
כך ש
מכאן:
ולכן \spn
בת"ל.
יהיו
כך ש
אז נעביר אגפים:
נשם לב כי הביטוים משני הצדדים שווים ולכן ניתן לבטא אותם זה באמצעות זה.
, ולכן קיימים
כך שנוכל באמצעותם ליצג צירוף לינארי עם ווקטורי הבסיס של
את הביטוי באגף השמאלי:
נציב אותו במקום הביטוי מצד ימין:
שזהו בדיוק הבסיס של
. מאחר ש
בת"ל אנו מסיקים כי
נציב ב *
ונקבל:
מאחר ש-
בת"ל אז
לפיכך הוכחנו כי
הוא בסיס של
.
נוכיח את נכונות משפט המימדים:
מספר האיברים ב S שווה ל
![{\displaystyle {\overset {Z}{\overbrace {m} }}+{\overset {U}{\overbrace {\left(k-m\right)} }}+{\overset {W}{\overbrace {\left(l-m\right)} }}=k+l-m\dim U+\dim W=k+l-m=\dim U\cap W+\dim U+W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8f2aa2120edea3b299f9a7ded771c77638a38c)