אלגברה לינארית/משפט הממדים

משפט הממדים

משפט: יהיו $U, W$ תתי מרחב של $V$ מעל שדה $𝔽$ . אזי $\dim (U) + \dim (W) - \dim (U \cap W) = \dim (U + W)$

\dim U = k

,

\dim W = l

ו

\dim U \cap W = m

.

יהי ${z_{1}, ., z_{m}}$ בסיס של $U \cap W$ , לכן היא תת קבוצה בת"ל של $U$ .

לכן קיימים $u_{m + 1}, .., u_{k} \in U$ כך ש ${z_{1}, .., z_{m}, u_{m + 1}, .., u_{k}}$ מהווה בסיס של $U$ .

בדומה קיימים $w_{m + 1}, .., w_{l} \in W$ כך ש ${z_{1}, .., z_{m}, w_{m + 1}, .., w_{l}}$ מהווה בסיס של $W$ .

נראה ש ${z_{1}, .., z_{m}, u_{m + 1}, .., u_{k}, w_{m + 1}, .., w_{l}}$ מהווה בסיס של $U + W$ .

קבוצה פורשת

יהי $v \in U + W$ , אז קיימים $w \in W, u \in W$ כך שלפי סגירות לחיבור $v = u + w$ .

מכאן קיימים $c_{1}, .., c_{k} \in 𝔽$ כך ש $u = c_{1} z_{1} + .. + c_{k} u_{k}$ בדומה קיימים $d_{1}, .., d_{l} \in 𝔽$ כך ש $w = d_{1} z_{1} + .. + d_{l} w_{l}$

מכאן: $v = u + w = (c_{1} + c_{1}) z_{1} + ... + (c_{m} + d_{m}) z_{m} + c_{m + 1} u_{m + 1} + ... c_{k} u_{k} + d_{m + 1} w_{m + 1} ... d_{l} w_{l}$ ולכן \spn $S = U + W$ בת"ל.

יהיו $a_{1}, .., a_{m}, b_{m + 1}, .., b_{k}, c_{m + 1}, .., c_{l} \in 𝔽$ כך ש $a_{1} z_{1} + ... + a_{m} z_{m} + b_{m + 1} u_{m + 1} + ... b_{k} u_{k} + c_{m + 1} w_{m + 1} ... c_{l} w_{l} = 0$

אז נעביר אגפים: $W ∋ \overset{⏞}{c_{m + 1} w_{m + 1} ... c_{l} w_{l}} \overset{*}{=} \overset{⏞}{- (a_{1} z_{1} + ... + a_{m} z_{m} + b_{m + 1} u_{m + 1} + ... b_{k} u_{k})} \in U$

נשם לב כי הביטוים משני הצדדים שווים ולכן ניתן לבטא אותם זה באמצעות זה.

$c_{m + 1} w_{m + 1} ... c_{l} w_{l} \in U \cap W$ , ולכן קיימים $d_{1}, .., d_{m} \in 𝔽$ כך שנוכל באמצעותם ליצג צירוף לינארי עם ווקטורי הבסיס של $U \cap W$ את הביטוי באגף השמאלי: $c_{m + 1} w_{m + 1} + .. + c_{l} w_{l} = d_{1} z_{1} + ... + d_{m} z_{m}$

נציב אותו במקום הביטוי מצד ימין: $d_{1} z_{1} + ... + d_{m} z_{m} - (c_{m + 1} w_{m + 1} + .. + c_{l} w_{l}) = 0$

שזהו בדיוק הבסיס של $W$ . מאחר ש ${z_{1}, .., z_{n}, w_{m + 1}, .., w_{l}}$ בת"ל אנו מסיקים כי $d_{1} = .. = d_{m} = c_{m + 1} = .. = c_{l} = 0$

נציב ב * $c_{m + 1} = .. = c_{l} = 0$ ונקבל: $a_{1} z_{1} + ... + a_{m} z_{m} + b_{m + 1} u_{m + 1} + ... b_{k} u_{k} = 0$

מאחר ש- ${z_{1}, .., z_{n}, u_{m + 1}, .., u_{k}}$ בת"ל אז $a_{1} = .. = a_{m} = b_{m + 1} = .. = b_{k} = 0$

לפיכך הוכחנו כי $S$ הוא בסיס של $U + W$ .

נוכיח את נכונות משפט המימדים:

מספר האיברים ב S שווה ל

\overset{Z}{\overset{⏞}{m}} + \overset{U}{\overset{⏞}{(k - m)}} + \overset{W}{\overset{⏞}{(l - m)}} = k + l - m \dim U + \dim W = k + l - m = \dim U \cap W + \dim U + W

{{{2}}}

הוכחה

נסמן: $n = \dim (U), m = \dim (W), k = \dim (U \cap W)$ .

יהי $A = {a_{1}, \dots, a_{k}}$ בסיס ל- $U \cap W$ . אזי $A$ בת"ל. כיון שכל בת"ל מוכלת בבסיס, קיימות קבוצות $B = {b_{k + 1}, \dots, b_{n}}, C = {c_{k + 1}, \dots, c_{m}}$ כך ש- $A \cup B$ בסיס ל- $U$ , ו- $A \cup C$ בסיס ל- $W$ .

יהי $x \in (U + W)$ . אזי קיימים $u \in U, w \in W$ כך ש- $x = u + w$ . בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים כך ש- $u = \sum_{i = 1}^{k} α_{i} a_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} β_{i} b_{i}, w = \sum_{i = 1}^{k} γ_{i} a_{i} + \sum_{i = k + 1}^{m} δ_{i} c_{i}$

נקבל $x = \sum_{i = 1}^{k} (α_{i} + γ_{i}) a_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} β_{i} b_{i} + \sum_{i = k + 1}^{m} δ_{i} c_{i}$ , כלומר, $x$ הוא צ"ל של $A \cup B \cup C$ . לכן, $A \cup B \cup C$ פורשת את $U + W$ .

נניח בשלילה שיש סקלרים, לא כולם אפס כך ש- $\sum_{i = 1}^{k} α_{i} a_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} β_{i} b_{i} + \sum_{i = k + 1}^{m} γ_{i} c_{i} = \vec{0}$ . נסמן $w = - \sum_{i = k + 1}^{m} γ_{i} c_{i}$ . אזי $w \in W$ קיימים סקלרים כך ש- $w = \sum_{i = 1}^{k} δ_{i} a_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} 0 b_{i}$

בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל $\forall i : β_{i} = 0$ . באופן דומה, נקבל $\forall i : γ_{i} = 0$

נקבל: $\sum_{i = 1}^{k} α_{i} a_{i} = \vec{0}$ , ומכך ש- $A$ בת"ל, נקבל $\forall i : α_{i} = 0$ .

קיבלנו, שכל המקדמים $α, β, γ$ מתאפסים, ולכן, $A \cup B \cup C$ בת"ל.

לכן, $A \cup B \cup C$ בסיס ל- $U + W$ , וכיון ש- $# (A \cup B \cup C) = n + m - k$ נקבל $\dim (U + W) = n + m - k$

לכן, $\dim (U) + \dim (W) - \dim (U \cap W) = \dim (U + W)$