אלגברה לינארית/תלות לינארית של פונקציות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

תזכורות[עריכה]

  1. אז היא בת"ל. ובפרט כל תת קבוצה סופית, לדוגמה, , בת"ל.
  2. יהי וגם כך ש-, ו- לכל אז ת"ל כי .


טענה 1: מרחב הפולינומים ב בת"ל

יהי נוכיח היא בת"ל.

יהיו כך ש .

נניח בשלילה שלא כל המספרים הם אפסים.

נסמן ב- .

אז ולכן נוכל להעביר אגף לאותו נעלם עם חזקה זו ולחלק בה כך שנקבל,

נגדיר ( מוכפל בסקלר הגדול ביותר מבין האיברים המבודדים לעיל ולכן נקבל ערך גדול ממש בסכום האיברים מימין).

נציב אל המשוואה וניקח את הערך המוחלט: סתירה.


דוגמה 1: יהי ו-. , ו- לכל. האם בת"ל?

כן, יהיו כך ש- לכל .

נציב . נקבל:

נציב ונקבל

נציב ונקבל

קיבלנו מערכת משוואות עם הפתרון יחיד . לכן בת"ל



דוגמה 1: יהי ו . לכל .האם היא בת"ל?

לא. מפני

לחילופין ניתן לבצע הצבה.



דוגמה 2: , ו- לכל . אז . מצא בסיס עבור

אם אז קיימים כך ש לכל .

כך ש- לכל.

וגם לכן כלומר

דהינו ולכן אז

לפיכך אמ"מ .

בנוסף ניתן לראות ש בת"ל ולכן הן בסיס ל W.


טענה 1: ולכן המ"ו ממימד . יהי . אז הוא בסיס של . תוכן=מספיק להוכיח שהיא בת"ל או פורשת (כי כבר יודעים שהמימד ולכן על פי משפט מהווה בסיס) נוכיח באינדוקציה על כי . עבור אז . נניח כי הטענה נכונה לכל , כלומר מתקיים: . נוכיח עבור : נכפיל את ההבנחה בסקלר, לכן . ובפולינום:

  • כפלנו צירוף ליניארי באיבר x-a. (מותר רק בשדה פולינומים, בו כפל בין וקטורים מוגדר)
לפיכך ולכן . מכאן ש- פורשת: מאחר ש כי אז פורש את ומאחר שבת"ל הינו בסיס.

{{{תוכן}}}


מסקנה: אם אז קיימים כך ש .

זהו פיתוח של f לפולינום טיילור סביב a.