אלגברה לינארית/המרחב של העתקות לינאריות

הגדרה 1: Hom יהי $V,W$ מ"ו מעל $𝔽$. $Hom$ הוא אוסף ההעתקות הלינאריות $Hom(v,w)=\{T:V\to W\mid T-is-Linearmap\}$ במילים אחרות, $T$ היא העתקה ליניארית ממרחב ווקטורי $V$ למרחב הווקטורי $W$ אזי $\mathrm{hom}$ הוא כל ההעתקות הליניאריות ממרחב ווקטורי $V$ למרחב הווקטורי $W$. הוכחה: הגדרה 2: הגדרה העתקות במרחב HOM יהי $S,T:V\to W$ ה"ל כך ש- $S,T\in hom(V,W)$, וכן גם, $c\in 𝔽$. נגדיר: $(S+T):V\to W:(S+T)\left(v\right)=S\left(v\right)+T\left(v\right)$ $\left(cT\right):V\to W$ ע"י $\left(cT\right)\left(v\right)=c\cdot T\left(v\right)$ נוכיח כי $S+T$ ו$c\cdot T$ הן ה"ל. אדטיביות - יהיו $v_1,v_2\in V$ אזי $(S+T)(v_1+v_2)=S(v_1+v_2)+T(v_1+v_2)=S\left(v_1\right)+S\left(v_2\right)+T\left(v_1\right)+T\left(v_2\right)=S\left(v_1\right)+T\left(v_1\right)+S\left(v_2\right)+T\left(v_2\right)=(S+T)\left(v_1\right)+(S+T)\left(v_2\right)$ יהי $v\in V$ ו$c\in 𝔽$ אזי $(S+T)\left(cv\right)=S\left(cv\right)+T\left(cv\right)=c\cdot S\left(v\right)+c\cdot T\left(v\right)=c\cdot (S\left(v\right)+T\left(v\right))=c\cdot \left((S+T)\left(v\right)\right)$ לכן $S+T$ הינה ה"ל. בדומה מראים ש cT הינה ה"ל. במילים אחרות, כל ה"צירופים הלינארים" של העתקות, כפי שניתן לראות לעיל פורשות תת מרחב מעל השדה. סיכום: $\mathrm{hom}(V,W)$ עם פעולות חיבור וכפל בסקלר שהגדרנו מקיים את כל האקסיומות של המרחב הוקטורי מעל $𝔽$. לכן מעתה נתייחס ל$\mathrm{hom}(V,W)$ כאל מ"ו