אלגברה לינארית/ערכים עצמיים

וקטור עצמי וערך עצמי

הגדרה

ערך עצמי של מטריצה מוגדר באופן הבא: תהי מטריצה $A\in \mathbb {F} ^{n\times n}$ . וקטור $v\in \mathbb {F} ^{n}$ ייקרא וקטור עצמי של A אם הוא שונה מ-0 וגם קיים סקלר $\lambda \in \mathrm {F}$ כך ש- $Av=\lambda v$. במקרה זה, $\lambda$ ייקרא ערך עצמי של A.
ערך עצמי של העתקה לינארית מוגדר באופן הבא: תהי $T:V\to V$ העתקה לינארית. אומרים ש- $\lambda \in \mathbb {F}$ הוא ע"ע של $T$ אם קיים $v\neq 0$ כך ש- $Tv=\lambda v$ .

$v=0$ לא וקטור עצמי עפ"י ההגדרה פשוט כיוון שאם כן היה, אזי כל סקלר בשדה היה ערך עצמי שכן $\forall \lambda \in \mathbb {F} :A\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}=\lambda \cdot {\vec {0}}$ (וכנ"ל לגבי אופרטורים).

קל להוכיח שאם ניקח את קבוצת כל הוקטורים המהווים וקטורים עצמיים של A עם ערך עצמי $\lambda$ , ונאחד יחד עם הקבוצה $\{{\vec {0}}\}$ נקבל מרחב וקטורי. למרחב הוקטורי הזה קוראים המרחב העצמי הקשור ל- $\lambda$ ומסומן לרוב $V_{\lambda }$

קבוצת הערכים העצמיים של מטריצה A לרוב נקראת "הספקטרום של A" ומסומן ${\mbox{spec}}(A)$

הקשר בין ערכים עצמיים של העתקה וערכים עצמיים של מטריצה

יהי $T:V\to V$ ויהי בסיס B למרחב: $B=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}$. אזי מתקיים ש- $\lambda$ ע"ע של ההעתקה T אם ורק אם היא ע"ע של $[T]_{B}$ (המטריצה המייצגת של העתקה T לפי בסיס B). זה הקשר בין ע"ע של העתקה לע"ע של מטריצה.

מציאת ערך עצמי למטריצה

נראה כי מתקיים: $Av=\lambda v\iff \lambda v-Av=0\iff (\lambda I-A)v=0$ .

כיון ש- $v\neq {\vec {0}}$ אזי מצאנו וקטור שונה מ-0 שמאפס את $(\lambda I-A)$ ולכן המטריצה לא הפיכה. זה מתקיים אם ורק אם $\det(\lambda I-A)=0$
לפולינום $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ נקרא הפולינום האופייני של המטריצה A. נראה כי שורשיו, הם x-ים שיגרמו לכך שהדטרמיננטה בעצם תהיה 0 ולכן ניתן להסיק כי $\lambda$ ע"ע (קיצור נפוץ ל"ערך עצמי) אם ורק אם שורש של הפולינום האופייני.
לכן, כדי למצוא ערכים עצמיים של מטריצה, פשוט נחפש את שורשי הפולינום האופייני

דוגמא למציאת ע"ע למטריצה

נחפש את הערכים העצמיים של המטריצה $A={\begin{pmatrix}-3&1&-1\\-7&5&-1\\-6&6&-2\end{pmatrix}}$
נסתכל על $B=xI-A$ זוהי המטריצה $B={\begin{pmatrix}x+3&-1&1\\7&x-5&1\\6&-6&x+2\end{pmatrix}}$
נחשב את $det(B)$ . מתקיים: $det(B)=(x+3){\begin{vmatrix}x-5&1\\-6&x+2\end{vmatrix}}-(-1){\begin{vmatrix}7&1\\6&x+2\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}7&x-5\\6&-6\end{vmatrix}}$
$\det(B)=(x+3)((x-5)(x+2)-1\cdot (-6))+(7(x+2)-6)+(7\cdot (-6)-6(x-5))=$
זה בעצם שווה ל- ${(x+3)(x^{2}-3x-10+6)+(7x+14-6)+(-42-6x+30)=(x+3)(x^{2}-3x-4)+7x+8-6x-12}$
קל לראות כי זה בעצם כמו ${(x+3)(x-4)(x+1)+x-4=(x-4)((x+3)(x+1)+1)=(x-4)(x^{2}+4x+3+1)=(x-4)(x+2)^{2}}$ ולכן קיבלנו כי הפולינום האופייני של A הוא $p_{A}(x)=(x-4)(x+2)^{2}$ ושורשיו הם x=-2,4 ולכן אלה הערכים העצמיים של המטריצה A.

תכונות

• וקטורים עצמיים שקשורים לערכים עצמיים שונים הם בת"ל.
• $\lambda$ הוא ע"ע של A אם ורק אם $p_{A}(\lambda )=0$
  
• אם $A\in \mathbb {F} ^{n\times n}$ אז $\deg p_{A}(x)=n$ (דרגה של פולינום זה החזקה הכי גבוהה של x בפולינום).
  
• הפולינום הוא פולינום מתוקן. כלומר, המקדם של החזקה הכי גבוהה של x הוא תמיד 1. לא יכול להיות $p_{A}(x)=3x^{2}-5x+4$ כיון שהחזקה הכי גבוהה של x הוא 2 והמקדם שלו הוא 3, לא 1.
  
• אם A מטריצה משולשית כך שעל האלכסון נמצאים $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ אזי $p_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})\cdots (x-\lambda _{n})$
  
• המקדם של $x^{n-1}$ (החזקה הכמעט הכי גבוהה) הוא $-{\mbox{tr}}(A)$ (כאשר tr זה העקבה של המטריצה)
  
• המספר החופשי, שהוא לא מקדם של אף חזקה של x (ניתן להגיד מקדם של $x^{0}$) תמיד יהיה $(-1)^{n}\cdot \det(A)$
  
• משפט קיילי-המילטון: כל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה. כלומר אם $p_{A}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ אז $p_{A}(A)=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n}=0$ (יש להעיר שזו מטריצת האפס שכן יש פה חיבור מטריצות, כפל שלהן וכפל שלהן בסקלר.)

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

יהי $\lambda$ ערך עצמי של $A$ . מגדירים ריבוי אלגברי של $\lambda$ להיות החזקה של $(x-\lambda )$ בפולינום האופייני של המטריצה. לרוב נסמן את הריבוי האלגברי של $\lambda$ בתור $k_{\lambda }$. באופן פורמלי, $k_{\lambda }=\max\{k\in \mathbb {N} :(x-\lambda )^{k}|p_{A}(x)\}$

כמו כן, מגדירים ריבוי גאומטרי של $\lambda$ להיות המימד של המרחב העצמי הקשור ל- $\lambda$ או באופן פורמלי, $m_{\lambda }=\dim(V_{\lambda })$

מתקיים לכל ערך עצמי $m_{\lambda }\leq k_{\lambda }$

הפרק הקודם: דטרמיננטות

ערכים עצמיים

הפרק הבא: מטריצות דומות